Матан. Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем. Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф

• Название: Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф
• Анкор: Матан
• Дата: 07.01.2020
• Размер: 1.68 Mb.
• Имя файла: Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем.docx
• Тип: Вопросы к экзамену; #103007
• страница: 15 из 16

Вопрос 45

Производная и дифференциал функции, заданной параметрически.

Функцию можно задавать с помощью двух отображений и

композицией .Такую функцию записывают в форме

, . Существование может обеспечить , например, строгая монотонность функции .

ПРИМЕР 1. Функция на отрезке [-1; 1] может быть задана параметрически

, . Тогда .

НАВСЯК:

о дифференцируемости функции заданной параметрически

Пусть функция заданапараметрически ,,

причем - дифференцируемые на отрезке функции и .

Тогда в каждойточке x, соответствующей значению t, т.е. , существует производная , равная, и дифференциал .

ДОК. (1) .

(2) .

Вопрос 46

Локальный экстремум функции, теорема Ферма.

Локальный экстремум функции.

ОПР. Точка называется точкой локального максимума функции , определенной в некоторой окрестности , если .

Если неравенство строгое для всех , то говорят о строгом локальном максимуме.

ОПР. Точка называется точкой локального минимума функции , определенной в некоторой окрестности , если .

Если неравенство строгое для всех , то говорят о строгом локальном минимуме.

Если функция имеет в точке локальный минимум или локальный максимум, то

говорят о локальном экстремуме функции.

Следующая теорема устанавливает необходимые условия локального экстремума.

ТЕОРЕМА 1. (Ферма)

Если функция в точке имеет локальный экстремум, то либо функция не имеет производную в точке , либо эта производная равна нулю.

ДОК. (1) Если производной в точке нет, то теорема доказана (см. пример 1).

(2) Пусть производная существует и . Тогда и знак для достаточно малых определяется

знаком выражения , а он меняется в зависимости от знака . Последнее противоречит условию локального экстремума в точке , т.е..

НАВСЯК:

ПРИМЕР 1.(не характерный)

Функция имеет, по определению, в точке строгий локальный максимум, поскольку , не смотря на то, что убывает в левосторонней окрестности и возрастает в правосторонней окрестности точки .

Вопрос 47

Теоремы о среднем для производных. Теорема Роля.

Теоремы о среднем для производных.

ТЕОРЕМА Ролля

Если функция 1) непрерывна на отрезке [a;b],

2) дифференцируема в каждой точке интервала (a;b),

3) принимает на концах отрезка равные значения :,

то существует на интервале (a;b) такая точка c, для которой .

ДОК. По доказанной теореме непрерывная на [a;b] функция принимает на этом отрезке

наибольшее и наименьшее значения : и . Если одна из точек c₁или c₂лежит на интервале (a,b) , то теорема доказана, поскольку эта точка является точкой локального экстремума и по теореме 1 . Если или, но они совпадают с концами отрезка, то и функция постоянная на

отрезке[a;b] и .

НАВСЯК:

ПРИМЕР .Функция на отрезке удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля , кроме одного : в точке функция не имеет производную. При этом утверждение теоремы не выполняется : для и для .

Вопрос 48

Теоремы о среднем для производных. Теорема Коши. Теорема Лагранжа.

ТЕОРЕМА Коши

Если функции и 1) непрерывны на отрезке [a;b],

2) дифференцируемы в каждой точке интервала (a;b),

3) на интервале

то существует на интервале (a;b) такая точка c, для которой .

ДОК. Из условия теоремы следует, что . Действительно, если ,

то функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля и тогда найдется такая

точка c, для которой , что противоречит условию 3) теоремы.

Рассмотрим вспомогательную функцию .

Проверим, что .Действительно, и функция

удовлетворяет условию теоремы Ролля. Тогда найдется , для которой

. Из последнего равенства следует утверждение теоремы.

ТЕОРЕМА 4 (Лагранжа)

Если функции 1) непрерывна на отрезке [a;b],

2) дифференцируема в каждой точке интервала (a;b),

то существует на интервале (a;b) такая точка c, для которой .

ДОК. Следует из теоремы Коши для .

Вопрос 49

Теорема Лопиталя для раскрытия неопределенностей .

Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности

Если функции и 1) непрерывны на [a;b) , а и bне обязательно конечны.

2) дифференцируемы в каждой точке интервала (a;b),

3) на интервале ,

4) ,

5) существует.,

то существует .

ДОК. Для любого на отрезке выполняются условия теоремы Коши и найдется , для которого . Если , то

и .

В теореме допускается случай или.