Матан. Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем. Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф
 Скачать 1.68 Mb.
|
Вопрос 2626. Первый замечательный предел. Функция f()= определена на Х=(, 0)(0, +), точка о=0 является концом одновременно двух смежных промежутков из Х. так как рассматриваем , то достаточно рассмотреть этот предел для сужения нашей функции f(), то есть для функции , (, 0)(0, ). Рассмотрим каждый интервал отдельно. >0, tg >0. u y Вычислим площадь треугольника А0В, сектора и △А0D. А0В△А0D. пл.А0В<пл.<пл. △А0D. Из элементарной геометрии: ·1·<·1·<·1· tg << tg и т.к. >0, то 1<< <<1. = =1 Тогда по теореме о предельном переходе в неравенствах для трёх функций =1 <<0 0<()< <<1. Согласно чётности и нечётности : <<1. =1 ==1 согласно теореме §5 получаем =1. Вопрос 2727. Второй замечательный предел и его следствия. . ДОК. (1) Пусть произвольная последовательность, ,для которой . Тогда и для каждого nнайдутся натуральные числа или . Справедливо неравенство . Последовательности и сходятся к числу e, поэтому на основании теоремы о промежуточной последовательности по Гейне, а значит и по Коши. (2) Пусть произвольная последовательность, ,для которой . Обозначим .Тогда .Обозначим . Тогда и. Из доказанного в (1) следует . СЛЕДСТВИЯ (1) . ДОК. (2) . ДОК. Замена .. Вопрос 2828. Понятия и . Примеры. . Сравнение функций. ОПР. ( О – большое ) Рассматриваются функции . Говорят, что функция есть О-большое от функции в окрестности точки , обозначение , если . ПРИМЕР. в окрестности точки . . Если в окрестности , то условие равносильно ограниченности функции в окрестности точки . Последнее выполняется, например, если существует . ОПР. ( о – маленькое ) Функция есть о-малое от функции в окрестности точки , обозначение , если . о(1) – бесконечно малая функция . ПРИМЕР. Алгебра о- малых.( в точке x = 0 ) (1) (2) (3) , где - б.м.ф. (4) РЕШЕНИЕ. (1) (2) (3), б.м.ф. (4)/ Вопрос 2929. Эквивалентные бесконечно малые функции, таблица эквивалентности (с доказательством). ОПР. Бесконечно малые в точке функции и называются эквивалентными, если . Обозначение . Отношение эквивалентности транзитивно: ,, то . и симметрично: . ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ в точке x = 0 . (1) (6) (2) (7) (3) (8) (4) (9) (5) (10) ДОК. Формулы (1)- (3), (6), (8) уже обсуждались, (7) и (9) получаются из них переходом к основанию e, сделав замену и , (5) – аналогично, (10) . Доказательство см на фотке: Вопрос 3030. Теорема о замене бесконечно малой на эквивалентную. Теорема о связи эквивалентных бесконечно малых функций. ТЕОРЕМА 1 ( о замене бесконечно малой на эквивалентную) Если бесконечно малые функции , в точке , и существует , то существует . ДОК. . ТЕОРЕМА 2 (о связи эквивалентных бесконечно малых) Если две бесконечно малые функции и эквивалентны в точке , то . Если бесконечно малые функции и связаны соотношением , они эквивалентны. ДОК.(1) (2)) . Вопрос 3131. Непрерывность функции в точке. Теорема о непрерывности арифметических операций. Классификация точек разрыва. Примеры. Непрерывность функции в точке. ОПР. Функция, определенная в окрестности, называется непрерывной в точке, если. ОПР. (эквивалентное). Функция, определенная в окрестности, называется непрерывной в точке, если ее приращение - бесконечно малая функция в точке. (здесь). ДОК. Эквивалентность определений следует из теоремы о связи функции, имеющей предел, и бесконечно малой функции. ПРИМЕР. (1) Доказать непрерывность функции в точке. РЕШЕНИЕ. , поскольку . ТЕОРЕМА 1 (арифметическая теорема о непрерывных функциях) Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда сумма , произведение и частное ,- непрерывные функции в точке . ДОК. Следует из арифметической теоремы о пределах(ДЛЯ СПРАВКИ): ТЕОРЕМА 11. (арифметическая теорема о пределах) Если ,, то (1) (2) (3) . Классификация точек разрыва функции в точке. Определение. Точка xо называется точкой разрыва функции f(x), если либо xо X, но является концом одновременно двух смежных промежутков из X; либо xо X, но f(x); либо xо X, f(x), но f(x) f(xо). Определение. Функция f(x) называется непрерывной, если она не имеет точек разрыва как принадлежащих X, так и не принадлежащих X. Классификация точек разрыва функции в точке. Разрывы первого рода 1.Устранимый: существуют равные односторонние пределы но они не равны значеню функции в этой точке- устранимый разрыв (как выколотоя точка на графике). 2. Неустранимый: существуют пределы функции справа и слева, но они не равны между собой- разрыв первого рода ( скачок) Например, функция , где - характер , в точке имеет разрыв первого рода : и устранимый разрыв в точке . 3. Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке не существует (или бесконечный), то говорят о разрыве функции второго рода. Следующие рисунки характеризуют разрывы второго рода. НАВСЯК (2) Доказать, что функция разрывная в точке и непрерывна в любой точке. РЕШЕНИЕ. , т.е. функция не является непрерывной в точке. Пусть .Тогда . Функция - ограничена в окрестности точки . Функции и бесконечно малые в точке , поэтому , т.е. функция непрерывна в точке. |