Матан. Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем. Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф
 Скачать 1.68 Mb.
|
Вопрос 77. Предел последовательности. Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Определение. Число а называется пределом последовательности (1), если для каждого положительного числа >0) существует натуральное число (номер) N такое, что для любого номера n>N: │xn-a│или -< xn-а< а-< xn< xn(а-, а+) (а где расположены x1, x2, …, xN?) Предел последовательности (1) обозначается: а=xn. Определение. Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет предел, то есть если существует число а такое, что а=xn существует а такое, что для каждого >0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │xn-a│. Теорема 1. Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел. Доказательство. (от противного) Пусть существует {xn}, такая сходящаяся последовательность, для которой существуют два числа а и b, а а=xn, b=xn, b>a. так как a Возьмём =(b-а)>0. а=xn для каждого >0, а значит и для =(b-а)>0 существует номер N1 такой, что для любого n> N1: │ xn-а│<(b-а). b=xn для каждого >0, а значит и для =(b-а)>0 существует номер N2 такой, что для любого номера n>N2: │xn-b│<(b-а). Тогда для любого n>N=max{N1, N2} выполняются оба неравенства: b- xn Мы пришли к противоречию. Теорема 2. Любая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно. Доказательство. I. Пусть {xn} сходится. Докажем, что она ограничена. {xn} сходится существует число а такое, что для каждого >0, а значит и для =1>0 существует номер N=N(1) такой, что для любого номера n>N: │ xn-а│<=1 а-1< xn<а+1 xn(а-1, а+1) Положим А=min{x1, x2, …, xN, a-1} B=max{ x1, x2, …, xN, a+1} Тогда для любого n, n=1, 2, …: АВ. II. Обратное неверно. Рассмотрим последовательность 0, 1, 0, 1, … Она ограничена числами 0 и 1. Докажем, что она расходится. Для этого заметим, что если {xn} сходится, то (xn+1- xn)=0. Действительно, возьмём произвольное >0 и зафиксируем его. {xn} сходится существует а такое, что для каждого >0, а значит и для нашего фиксированного >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N: │xn-а│< а-< xn<а+ n+1>N: │xn+1-а│< а-< xn+1<а+ Тогда │xn+1- xn│=│xn+1-а- xn+а│<= (xn+1- xn)=0. Вернёмся теперь к последовательности 0, 1, 0, 1, … n, n=1, 2, …: │xn+1- xn│=1 0, следовательно {xn} расходится. Вопрос 88. Понятие подпоследовательности. Предельная точка последовательности, как предел сходящейся ее подпоследовательности . Понятие верхнего и нижнего предела последовательности. Теорема о принадлежности верхнего и нижнего пределов множеству предельных точек последовательности. Определение. Частичной последовательностью или подпоследовательностью последовательности (1)называется любая последовательность вида {xn1, xn2, …, xnk, …}, в которой номера n1 Теорема 4. Если предельная точка последовательности , то существует сходящаяся подпоследовательность , имеющая число своим пределом. Док. .Тогда - члены искомой подпоследовательности. . ОПР. Пусть – множество предельных точек последовательности - содержит все пределы всех сходящихся подпоследовательностей. Предположим, что оно не пусто и ограничено. Тогда числа иназывают верхним и нижним пределами последовательности . ТЕОРЕМА 8. Если последовательность ограничена, то числа иявляются предельными точками, т.е. принадлежат . ДОК. Построим подпоследовательность , предел которой равен . По определению , для существует : . Тогда подпоследовательность сходящаяся и ее предел, т.е. - предельная точка.Доказательство для аналогично. НАВСЯК: ТЕОРЕМА 2. Если последовательность имеет предельную точку В, то существует сходящаяся ее подпоследовательность, имеющая своим пределом. ДОК. Выберем в каждом отрезке , описанном в ТЕОРЕМЕ 1, член последовательности . Тогда подпоследовательность , , имеет по построению число В своим пределом. В примере (2) подпоследовательность , имеет предел В1=1, подпоследовательность , имеет предел В2=0,5, подпоследовательность , имеет предел В3= - 0,5, подпоследовательность , имеет предел В4= - 1 (4) подпоследовательность , имеет предел В1=1 , подпоследовательность , имеет предел В2= - 1 ТЕОРЕМА 3. Если последовательность имеет предел равный А, то любая ее подпоследовательность сходящаяся и имеет А своим пределом. ДОК. Теорема 1. Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится и имеет тот же предел. Доказательство. Пусть {xn} сходится а 0 N n>N: │xn-а│< и пусть { xn}- произвольная подпоследовательность последовательности {xn}. Докажем, что xn=а. Так как {nk} строго возрастает и : nkk, то по теореме §5 {nk} стремится к + 0, а значит и для E=N>0 номер K такой, что k>K: nk>N >0 >K: │xn-а│< а=xnk. Сандра верх ниж пределы: Рассмотрим множество M всех частичных пределов данной последовательности {xn}. Возможны следующие варианты: М. М – ограничено infM и supM Определение. Нижним пределом {xn} называется =infМ. Верхним пределом {xn} называется =supМ. М –ограниченно снизу и неограниченно сверху. Тогда по определению =infМ, а =+. М – ограниченно сверху и неограниченно снизу. Тогда по определению =supМ, а =. II. M=. В этом случае у {xn} нет ни одной сходящейся подпоследовательности. Например, {1, 2, 3, …, n, …}. Тогда 1) если у последовательности {xn} существует подпоследовательность, стремящаяся к +, то =+. 2) если у последовательности {xn}, существует подпоследовательность, стремящаяся к -, то =. |