Матан. Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем. Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф

• Название: Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф
• Анкор: Матан
• Дата: 07.01.2020
• Размер: 1.68 Mb.
• Имя файла: Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем.docx
• Тип: Вопросы к экзамену; #103007
• страница: 7 из 16

Вопрос 15

15. Теорема о промежуточной последовательности.

ТЕОРЕМА 7 (о промежуточной последовательности)

Пусть (2) ,,- две сходящиеся последовательности, причем .Последовательность удовлетворяет неравенству : . Тогда.

ДОК.,т.е. .

Опр. Две последовательности и называются эквивалентными, если .

Навсяк:

Обозначение: . Равные последовательности эквивалентны, но не наоборот.

ТЕОРЕМА 8 (о замене в пределе одной последовательности на эквивалентную).

Если , , , и существует , то .

Док. (по арифметической теореме о пределах)

Опр. Говорят, что последовательность , если . В частности, если - бесконечно малая последовательность, то .

Если , то Если , то

Вопрос 16

16. Число е.

ТЕОРЕМА 9. ( число )

Последовательность имеет предел, равный числу e=2,71….

ДОК. Напомним формулу бинома Ньютона :, где

- коэффициенты бинома.

Применим формулу для

. При увеличении n число слагаемых в сумме

увеличивается, а каждое слагаемое также увеличивается, т.е. монотонно возрастающая последовательность. Докажем ее ограниченность сверху.

Тогда по теореме ( монотонная и ограниченная) имеет предел.

НАВСЯК:

Рассмотрим последовательность {(1+)ⁿ}.

Обозначим элемент этой последовательности y_n=(1+)ⁿ.

Докажем, что {y_n} сходится. Для этого покажем, что она возрастает и ограничена сверху.

Используем формулу Бинома-Ньютона:

y_n= (1+)ⁿ=1+n·+·+…+·+…+·= =1+1+(1-)+…+(1-)(1-)…(1-)+…+(1-)(1-)…(1-)

y_n+1=1+1+(1-)+…+1-)…(1- )+…+1-)…( 1-)+ +(1-)… (1-)

1. 
   {y_n} строго возрастает.
   

n, n=1, 2, …: y_nn+1, так как каждое слагаемое увеличивалось, ибо > и, кроме того, прибавилось ещё одно положительное слагаемое (последнее).

2. 
   {y_n} ограничено сверху.
   

Для доказательства заменим каждый множитель (1-) единицей, ибо kn (k-1
Используя неравенство k!=1·2·3·…·k1·2·2·…·2=2^k-1, k=1, 2, …, получим

y_n<1+1+++…+<1+1+++…+<1+1+++…++…=1+=1+2=3

Итак, n: y_n<3.

Тогда по теореме о сходимости ограниченной монотонной последовательности (§7) y_n==sup{(1+)ⁿ}.

2,7182848…

Вопрос 17

17. Определение предела функции по КОШИ и ГЕЙНЕ и их эквивалентность.

Предполагаем, что функция определена в выколотой окрестности

точки a радиуса .

ОПР.(КОШИ) Число А называется пределом функции в точке , обозначение , если .

ОПР.(ГЕЙНЕ) Число А называется пределом функции в точке , обозначение , если .

ТЕОРЕМА 1 Определения по Гейне и по Коши предела функции в точке эквивалентны,

т.е. если число А является пределом функции по Коши, то оно же является пределом по

Гейне , и наоборот.

ДОК. (1) Пусть по Коши : . Пусть произвольная последовательность, для которой .

Тогда ,т.е. .

(2) Пусть по Гейне. Предположим, что число А не является пределом

функции по Коши. Тогда .

Построенная последовательность сходящаяся и .Тогда . Полученное противоречие доказывает, что число А является пределом функции по Коши.

НАВСЯК

Предел функции в точке.

Определение.

Пусть f(х) – функция, имеющая стандартную область определения Х, х_о – фиксированная точка, лежащая внутри или являющаяся концом одного из промежутков, образующих Х.

Говорят, что f(х) имеет предел в т. х_о, равный L и пишут f(х)=L, если:

(Г) (в смысле Гейне) (К) (в смысле Коши)

{х_n}: 1. n: х_nХ 0 >0 х

n: х_n х_о :f(х_n)=L хХ

3.х_n= х_о х х_о : │f(х)- L│<

0 N : │f(х_n)-L│< │x - х_о│<

Теорема.

Определения (Г) и (К) эквивалентны ( (Г) (К) ).

Доказательство.

1). (К) (Г).

Дано: L является пределом функции f(х) в точке х_о в смысле Коши.

Докажем, что число L является пределом функции f(х) в точке х_о и в смысле Гейне.

Возьмём произвольную последовательность {х_n}, удовлетворяющую условиям:

1. 
   n: х_nХ
   
2. 
   n: х_n х_о (последовательность типа Гейне)
   
3. 
   х_n= х_о
   

И рассмотрим последовательность соответствующих значений функции f(х): {f(х_n)}.

хХ

Так как L=^(К)f(х) 0 >0 х х х_о : │f(х)- L│<.
│x - х_о│<

Возьмём произвольное 0 и возьмём ()>0, которое для >0 существует по определению Коши.

Так как х_n= х_о >0, а значит и для ()>0 N=N(()) n>N: │x - х_о│<. Тогда │f(х_n)- L│< 0 N n>N: │f(х_n)- L│< f(х_n)=L так как {х_n} была выбрана произвольно: f(х)=^(Г)L.

2). (Г) .

Дано: L=^(Г)f(х).

Докажем, что L=^(К)f(х) 0 >0 х (хХ, х х_о, │x - х_о│<) : │f(х)- L│<

Пусть L^(К)f(х) _о>0 >0 х′ (х′Х, х′ х_о, │x′ - х_о│<): │f(х′)- L│_о

Тогда для ₁=1>0 х₁′ (х₁′Х, х₁′ х_о, │x₁′ - х_о│<₁=1): │f(х₁′)- L│_о

для ₂=>0 х₂′ (х₂′Х, х₂′ х_о, │x₂′ - х_о│<₂=): │f(х₂′)- L│_о

..........................................................................................................................................

для _n=>0 х_n′ (х_n′Х, х_n′ х_о, │x_n′ - х_о│<_n=): │f(х_n′)- L│_о

…………………………………………………………………………………………………...

Мы построили последовательность {х′_n} такую, что:

1. 
   n: х′Х, 2) n: х′ х_о, 3) n: │x′_n - х_о│<
   

Покажем, что х_о )=(х_n+)= х_о.

А тогда по теореме о предельном переходе в неравенствах для трёх последовательностей: x′_n= х_о.

И для {f(х′_n)} │f(х_n′)- L│_о f(х_n′)L.

Мы получили () () {х′_n} : │f(х_n′)- L│_о


Следовательно, (Г) (К).