Матан. Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем. Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф
 Скачать 1.68 Mb.
|
Вопрос 33. Понятие функции. Сюръективные, инъективные и биективные отображения числовых множеств. Обратные функции. Примеры. Пусть Х – непустое множество. Х. Говорят, что на множестве Х задана функция, если указан закон, согласно которому каждому элементу хХ поставлено в соответствие число y. Обозначается функция: y=f(х); хХ. При этом множество Х называется областью определения функции, а множество Y={y; y=f(х), хХ } называется множеством значений функции y=f(х), хХ. Функция . область определения, - область значений, правило, по которому каждому сопоставляется единственное . Общие характеристики отображения : Функция (отображение на ) сюръекция, если , т.е. . Отображение X на Y при котором каждый элемент Y явл образом хотя бы одного X (должно выполнятся что для люб Y обратная фукция от y не явл пустым множеством ) Пример 1. - сюръекция, при отображение не является сюръекцией. Функция (отображение) инъекция , если из равенства следует . (Если есть выкл точка в X, значит в Y будет пустой прообраз(точка С)) Пример 2. является инъекцией, но не сюръекцией. Функция (отображение) биекция, если оно одновременно инъекция и сюръекция(взаимнооднозначное соответствие: «жесткая пара XY»). Выполняются два условия одновременно: 1. следует 2. для люб Y, обратная функция от Y не является пустым множеством Пример 3. 4. Если функция осуществляет биекцию, то на множестве может быть определена функция , удовлетворяющая тождеству . Функция называется обратной к и обозначается иногда . Функцией обратной к , т.е. очевидно является и она удовлетворяет тождеству Пример 4 .Функция , осуществляет биективное отображениемножеств и и поэтому имеет обратную , удовлетворяющую тождеству . Обратной функцией к логарифму является показательная функция, т.е. (основное тождество логарифма) . Пример 5. Функция биекция. Обратная функция удовлетворяет тождеству . Обратной функцией к является синус, т.е. . Вопрос 44. Понятие точной верхней и нижней граней числового множества. Теорема о существовании точной верхней и нижней грани ограниченного числового множества. Определение. Числовое множество X называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число В (соответственно А), что для любого x: xВ (соответственно Аx). Определение. Числовое множество X называется ограниченным, если оно ограниченно и сверху и снизу. Определение. Пусть X – ограниченное сверху числовое множество. Точной верхней гранью множества X называется наименьшее из всех чисел, ограничивающих множество X сверху, и оно обозначается supX= sup{x}. Определение. Пусть X – ограниченное снизу числовое множество. Точной нижней гранью множества X называется наибольшее из всех чисел, ограничивающих множество X снизу. Оно обозначается infX=inf{x}. Дадим рабочую форму этих понятий. Определение. Пусть X – ограниченное сверху числовое множество. Число M= supX называется точной верхней гранью множества X, если: для любого x: xM. для каждого >0 существует такой, что M-<. Определение. Пусть X – ограниченное снизу числовое множество. Число m= infX называется точной нижней гранью множества X, если: для любого x: mx. для каждого >0 существует такой, что Иногда случается, что числовое множество X имеет наибольший (наименьший) элемент, т.е. существует (соответственно ) такой, что для любого x: x (соответственно x. Теорема 1. (О существовании точной верхней грани у ограниченного сверху числового множества) Любое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет точную верхнюю грань. Доказательство. Пусть X, X и существует В такое, что для любого x: xВ. Рассмотрим множество E всех чисел, ограничивающих множество X сверху. E, так как ВE. Следовательно, мы имеем два множества X и E, обладающих свойством: X, E и для каждого x и для каждого ВE xВ. А тогда согласно аксиоме V (полноты и непрерывности) множества действительных чисел существует Во такое, что для любого x и для любого ВE x ВоВ. Из левой части неравенства x Во следует, что для любого x: x Во Во ограничивает множество X сверху ВоE. Из правой части неравенства следует, что для любого ВE: ВоВ, а так как ВоE, то Во – наименьшее из чисел, ограничивающих множество X сверху Во= supX. Доказательство, приведённое выше, принадлежит М.А.Крейнесу. Теорема 2. (О существовании точной нижней грани у ограниченного снизу числового множества). Любое непустое ограниченное снизу числовое множество имеет точную нижнюю грань. Доказательство. Пусть , и – ограниченно снизу, то есть существует А такое, что для любого x: Аx. Рассмотрим множество X={-x; x}. Тогда для любого -x: - x-А, то есть множество X ограничено сверху и согласно теореме 1 существует Во= supX для любого x: x Во -x- Во - Во=inf НАВСЯК: Утверждение. Пусть - наибольший элемент множества X. Тогда . Доказательство. Воспользуемся рабочей формулой определения точной верхней грани множества X. Проверим выполнение двух условий. По определению наибольшего элемента для любого x: x. Возьмём произвольное >0, фиксируем его. Тогда , а . Утверждение для наименьшего элемента докажите самостоятельно. |