Матан. Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем. Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф
 Скачать 1.68 Mb.
|
Вопрос 55. Система вложенных отрезков. Теорема о не пустоте их пересечения. Система Стягивающихся, вложенных отрезков. Теорема об единственности точки их пересечения. Система вложенных отрезков. ОПР. Система отрезков называется системой вложенных отрезков, если . ТЕОРЕМА 4 Любая система вложенных отрезков имеет общую точку. ДОК. Рассмотрим множества и. Множества А и В ограничены и . Тогда по аксиоме полноты существует , для которого .,т.е. ОПР. Система вложенных отрезков называется стягивающейся, если . ТЕОРЕМА 5. Система стягивающихся отрезков имеет единственную общую точку. ДОК. Пусть с1 и с2 две такие точки и .Тогда , т.е. . Последнее противоречит условию стягивания. НАВСЯК: Теорема.(о влож отрезках) Пусть последовательность отрезков (1) { [an, bn] } удовлетворяет следующим условиям: 1). n: [an+1, bn+1] [an, bn] 2). дл.[an, bn]=(bn- an)=0 Тогда последовательность концов отрезков {an} и {bn} сходится и an=bn=с. При этом с является единственной точкой, принадлежащей всем отрезкам последовательности (1). Доказательство. Рассмотрим последовательность {an} левых концов отрезков . Из условия 1) следует, что n, n=1, 2, …: аn+1an {an} возрастает. А так как n: anb1 (anbnb1), то {an} ограничена сверху. {an} возрастает и ограничена сверху, а тогда по теореме §7 она сходится с: с=an. Рассмотрим теперь последовательность {bn} правых концов отрезков [an, bn], n=1, 2, … Так как для любого n: bn=an+(bn-an), то по теореме о пределе суммы двух сходящихся последовательностей {an} и {bn-an} bn=с+0=с. Согласно следствию §7 an=с=sup{an}, а так как {bn} убывает и ограничена снизу, то bn=с=inf{bn}. По определению sup{an} и inf{bn}: n: anс bn n: с[an, bn]. Докажем теперь, что точка с - единственная точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности (1). Предположим, что с′, с′с и такое, что n: с′[an, bn]. Значит, n: -( bn- an)с- с′ bn- an, а так как с′с, то |с- с′|>0 0<|с- с′|(bn- an). Но это противоречит тому, что (bn- an)=0. Замечание 1. О последовательности (1) { [an, bn] } говорят, что { [an, bn] } – последовательность стягивающихся отрезков. Замечание 2. Если в условии теоремы отрезки заменить на промежутки другого типа, то сходимость последовательностей концов промежутков будет иметь место. Второе утверждение теоремы может оказаться ложным. Пример. {(0, 1); (0, ); …; (0, ); …} имеет пустое пересечение. ТЕОРЕМА 6 . Множество всех точек отрезка несчетно. ДОК. Предположим обратное :. Разобьем отрезок и выберем тот из отрезков, который не содержит х1 . Далее полученный отрезок разобьем на три части и выберем тот, который не содержит х2 и т.д. Полученная совокупность вложенных отрезков стягивающаяся. По теореме 1 существует число , не совпадающее ни с одним из . Полученное противоречие доказывает , что множество [0;1] несчетно. Множества равномощные с [0;1] называются множествами мощности континуума. Вопрос 66. Последовательности и способы их задания, примеры. Ограниченные, монотонные последовательности. Предельные точки (частичные пределы) последовательности. Теорема о существовании предельных точек ограниченных последовательностей. Определение. Говорят, что задана числовая последовательность, если указан закон, согласно которому каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число xn. Определение. Числовая последовательность (1) называется ограниченной сверху (снизу), если существует число В такое, что для любого n (n=1, 2, …): xnВ (соответственно существует число А такое, что для любого n (n=1, 2, …): xnА). Определение. Последовательность (1) называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу. Определение. Числовая последовательность (1) называется возрастающей (убывающей), если для любого n, n=1, 2, … : xnxn+1 (соответственно xnxn+1) Определение. Числовая последовательность (1) называется монотонной, если она либо возрастающая, либо убывающая. Последовательность может задаваться явно, например, (1) (2) (3) (4) и рекуррентно, например, (5) , (ариф. прогр.) (6),(геом. прогр.) ОПР. Окрестностью точки х0 радиуса >0 называют множество ОПР. Число В называют предельной точкой (частичным пределом)последовательности , если окрестность содержит бесконечное число членов последовательности . В примерах (1) число является единственной предельной точкой последовательности. (2) числа являются предельными точками последовательности. (3), (4), (5) предельных точек не имеют ТЕОРЕМА 1 Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку. ДОК. Из ограниченности последовательности следует существование отрезка [c1;b1], для которого . Разделим отрезок пополам и выберем ту половину , которая содержит бесконечное число . Если обе половины обладают этим свойством, то выбираем любую. Делим отрезок пополам и выбираем ту половину , которая содержит бесконечное число . Продолжая процесс деления, построим систему стягивающихся , вложенных отрезков . По теореме существует число В , принадлежащее каждому отрезку . Тогда окрестность содержит отрезок с достаточно большим номером n, но тогда , по построению последовательности в окрестности содержится бесконечное число членов последовательности . ОПР. Последовательность называется подпоследовательностью, если . Всякая предельная точка подпоследовательности является предельной точкой последовательности . |