Матан. Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем. Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф
 Скачать 1.68 Mb.
|
Вопрос 22. Аксиомы вещественных чисел и их следствия. Аксиомы действительных(веществ) чисел. Множество , содержащее более двух элементов, с введенными операциями сложения и умножения, удовлетворяющими аксиомам 1-5 ,называется множеством вещественных чисел, а его элементы – вещественными (или действительными) числами. 1. Аксиомы сложения. В множестве вещественных чисел определена операция сложения, т.е. определено вещественное число , причем эта операция удовлетворяет условиям: 1.1 существует ноль, т.е. такой элемент , для которого . 1.2 существует «противоположный» элемент :. 1.3 «правило расстановки скобок» :. 1.4 коммутативность :. 2. Аксиомы умножения. Во множестве вещественных чисел определена операция умножения, т.е. определено вещественное число , причем эта операция удовлетворяет условиям : 2.1 существует единица, т.е. такой элемент , для которого . 2.2 для каждого существует «обратный» элемент , для которого . 2.3 «правило расстановки скобок» :. 2.4 коммутативность : 3. Аксиомы сложения и умножения. 3.1 правило раскрытия скобок : 4. Аксиомы порядка. Во множестве действительных чисел определено отношение порядка , т.е. для каждой пары справедливо одно из высказываний : или , при этом это отношение удовлетворяет условиям : 4.1 4.2 Если и , то . 4.3 Если и , то . 4.4 Если , то . 4.5 Если и, то 5. Аксиома полноты. 5.1 Пусть иподмножества R, причем ии справедливо высказывание . Тогда , для которого для любых Следствия из аксиом. Сл1. Единственность нуля. Док. Если нуля два, , то . Сл2. . Док. . Сл3. Док. , т.е.. Сл4. Док. , т.е. . НАВСЯК: §3. Понятие множества действительных чисел. Определение (аксиоматическое). Непустое множество ={x} элементов x произвольной природы называется множеством действительных чисел, если выполняются следующие условия: I На множестве введена операция сложения элементов, т.е. указан закон, согласно которому каждой упорядоченной паре элементов x, y из поставлен в соответствие элемент из обозначаемый x+y и называемый суммой элементов x и y так, что выполняются следующие (аксиомы сложения) условия: (1)I В существует единственный нейтральный элемент (называемый нулём при сложении) такой, что для любого x выполнено: x+=+x=x (2)I Для каждого x существует единственный элемент из , называемый противоположным элементу x, обозначаемый (-x) и такой, что x+(-x)=(-x)+x= (3)I Для любых x, y, z x+(y+z)=(x+y)+z (ассоциативность) (4)I Для любых x, y из x+y=y+x (коммутативность) II На множестве введена операция умножения элементов, т.е. указан закон, согласовано которому каждой упорядоченной паре элементов x, y из поставлен в соответствие элемент из называемый произведением x на y и обозначаемый xy так, что выполнены следующие условия (аксиомы умножения): (1)II В существует единственный нейтральный элемент (единица при умножении) обозначаемый 1 такой, что для любого x: x·1=1·x=x (2)II Для любого x{ } существует единственный элемент из , называемый обратным к x и обозначаемый x-1 такой, что: x· x-1= x-1·x=1 (3)II Для любых x, y, z из : x·(y·z)=(x·y)·z (ассоциативность) (4)II Для любых x, y, z из : x·y=y·x (коммутативность) (I, II) – Связь между сложением и умножением. В для любых x, y, z: (x+y)·z=x·z+y·z (дистрибутивность) III На задано отношение порядка, т.е. для любых двух элементов x, y установлено: выполняется или нет x (x меньше или равно ). При этом отношение удовлетворяет следующим аксиомам порядка: (1)III Для любого x из : x (рефлексивность) (2)III Если для двух x и y: xy и yx, то x=y (x есть y) (3)III Если для x, y, z выполнено: xy и yz, то xz (транзитивность) (4)III Для любых x, y, z, если xy, то x+zy+z (5)III Для любых x, y из , либо xy, либо yx (либо и то и другое) (6)III Для x, y, если 0x, 0y, то 0xy |