Матан. Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем. Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф

• Название: Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф
• Анкор: Матан
• Дата: 07.01.2020
• Размер: 1.68 Mb.
• Имя файла: Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем.docx
• Тип: Вопросы к экзамену; #103007
• страница: 6 из 16

Вопрос 9

9. Фундаментальная последовательность. Теорема о сходимости фундаментальной

последовательности.

ОПР. Последовательность называется фундаментальной, если

.

В этом случае говорят, что последовательность удовлетворяет критерию КОШИ.

ТЕОРЕМА 1. Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна и наоборот.

ДОК. Пусть последовательность фундаментальна , тогда она ограничена.

Действительно, все члены последовательности с номерами большими лежат на интервале , остальные, возможно, этому интервалу не принадлежат, но

их конечное число. Тогда по теореме последовательность имеет предельную точку А.

Докажем, что А является пределом . Для любого найдем натуральное ,

для которого (1) ( А – предельная точка )

(2) ,( последовательность фундаментальна).

Тогда ,.

Пусть последовательность сходящаяся. Тогда для любого найдем натуральное , для которого (1) , (2) , и . Тогда

, т.е. последовательность фундаментальна.

Вопрос 10

10. Бесконечно малые последовательности. Теорема о связи сходящейся и бесконечно

малой последовательностями.

ОПР.Последовательность называется бесконечно малой, если

x_n =0 для каждого >0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │x_n│< x_n(-, ).

ТЕОРЕМА 2. (о связи сходящейся последовательности с бесконечно малой последовательностью)

Если сходящаяся последовательность, имеющая пределом число А, то существует

бесконечно малая последовательность , такая, что .

ДОК. Проверим, что последовательность - бесконечно малая. Для любого

, т.е. .

Вопрос 11

11. Бесконечно большие последовательности. Теорема о связи бесконечно большой и

бесконечно малой последовательностями.

ОПР. Последовательность называется бесконечно большой, если

. В этом случае пишут :.

ТЕОРЕМА 3. (о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностями)

Если последовательность бесконечно большая, то последовательность -

бесконечно малая последовательность (б.м.п). Если - бесконечно малая последовательность и , то - бесконечно большая последовательность(б.б.п)

ДОК. По условию, последовательность бесконечно большая : , т.е. последовательность бесконечно

малая.

Если б.м.п., то .

НАВСЯК

Бесконечно большие последовательности.

(последовательности, стремящиеся к -, к +, к )

Определение.

Говорят, что числовая последовательность {x_n} стремится к + (к -), если E>0 N n>N: x_n>E (соответственно, x_n<-E) и пишут x_n=+ (соответственно, x_n=-).

Определение.

Говорят, что последовательность {x_n} стремится к , если >0 N n>N: │x_n│>E и пишут x_n=.

Вопрос 12

12. Арифметические теоремы о бесконечно малых последовательностях.

ТЕОРЕМА 4. (арифметические теоремы о бесконечно малых последовательностях Пусть и - две бесконечно малые последовательности, - ограниченная последовательность.

Тогда (1) последовательность бесконечно малая.

(2) последовательность бесконечно малая.

ДОК. (1)

(2) - ограниченность, - б. малая,

.

Вопрос 13

13. Арифметические теоремы о пределах.

ТЕОРЕМА 5. (арифметические теоремы о пределах последовательностей)

Пусть и - две сходящиеся последовательности : , .

Тогда (1) (2) , (3) , .

ДОК. (3) ,, где , б.м.п. (теорема 2) . Если , то

последовательность ограничена. Тогда .Последовательность б.м.п. и б.м.п. (теорема 4), тогда по теореме 2.

ДОК. (1), (2) – самостоятельно.

Вопрос 14

14. Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

ТЕОРЕМА 6. (о переходе к пределу в неравенствах)

Пусть (1) , - сходящаяся последовательность. Тогда .

Пусть (2) и - две сходящихся последовательности, причем .

Тогда .

ДОК. (1) . Предположим противное :.Тогда для , что противоречит условию (1) теоремы.

(2) для последовательности выполняются условия (1) теоремы, тогда

- .

НАВСЯК

§4. Предельный переход в неравенствах. (Глава 2)

Теорема 1. (Для одной последовательности).

Пусть {x_n} сходится и x_n=а, и пусть В такое, что n, n=1, 2, … : x_nВ (А : x_nА).

Тогда аВ (соответственно, Аа).

Доказательство.

1. 
   Рассмотрим произвольную последовательность {x_n}, а=x_n и пусть В n, n=1, 2, … : x_nВ.
   

Предположим противное: а>В.

Так как x_n=а >0, а значит и для =а-В>0, N n>N: │x_n - а│<а-В -а+В+аn<а-В+а В<x_n<2а-В

Мы пришли к противоречию с тем, что : x_nВ.

2. 
   Рассмотрим произвольную последовательность {x_n}, а=x_n, для которой существует А такое, что : x_nА -x_n-А
   

Тогда для последовательности {-x_n} выполняется (-x_n)= -а и для каждого n, n=1, 2, … : -x_n-А. Согласно п. I -а-А .

Замечание.

Если в условиях теоремы 1 неравенство строгое, то в утверждении теоремы 1 следует сохранить нестрогие неравенства аВ (соответственно, аА).

Пример.

{x_n}={}. n: >0

Но =0.

Пусть {x_n} такова, что : Аx_nВ и x_n=а.

Тогда АаВ.

Указанное свойство отрезка [А, В] называется свойством замкнутости, то есть если на отрезке располагается сходящаяся последовательность, то отрезок не выпустит за свои границы предел этой последовательности.

Интервал (А, В) таким свойством не обладает.

Следствие 2.

Если последовательности {x_n} и {y_n} сходятся, причём x_n=а, y_n=b и , n=1, 2, …: x_ny_n, то аb.

Доказательство.

Рассмотрим {y_n-x_n}. : y_n-x_n0. Согласно теореме 3 §2 (y_n-x_n)=b-а, а согласно теореме 1 §4 b-а0 аb.

Теорема 2. (о трёх последовательностях)

Пусть {x_n}, {y_n} и {z_n} таковы, что: 1) : x_n z_n y_n

2) x_n=y_n=а

Тогда {z_n} сходится и z_n=а.

Доказательство.

x_n=а 0 N₁ >N₁: │x_n - а│< а-n<а+

y_n=а >0 N₂ >N₂: │y_n - а│< а-y_n<а+

Возьмём произвольной 0 и положим N=max{N₁, N₂}.

Тогда >N: >N: а-n z_n y_n<а+ а-< z_n<а+

Следовательно, >N: │z_n - а│< z_n =а.