Статистика. Введение. Предмет и метод статистической науки История развития статистической науки

• Название: Введение. Предмет и метод статистической науки История развития статистической науки
• Дата: 03.01.2019
• Размер: 1.71 Mb.
• Имя файла: Статистика.doc
• Тип: Документы; #62406
• страница: 5 из 7

4.2. Ошибка выборки для альтернативного признака

Теорема Бернулли утверждает, что при достаточно большом объеме выборки вероятность P расхождения между долей признака в выборочной совокупности ри долей в генеральной совокупности P_гбудет стремиться к 1.

, (4.10)

Для альтернативного признака среднее квадратическое отклонение равно, где . Тогда средняя ошибки выборки для альтернативного признака равна

, (4.11)

, (4.12)
Доля в генеральной совокупности P_г неизвестна и может быть только оценена при выборочном наблюдении

, (4.13)

При простой случайной выборке средняя квадратическая ошибки определяется по формулам:

Средняя квадратическая ошибкаПовторная выборкаБесповторная выборкаПри определении среднего размера признака, (4.14), (4.16)При определении доли признака,(4.15). (4.17)

4.3 Определение необходимой численности выборки

Численность стандартной и предельной ошибки выборки связано с увеличением объема выборки n. При проектировании выборочного наблюдения заранее задается величина допустимой ошибки и доверительная вероятность для определения предельной ошибки .

Если P=0,954, то (2σ)

Если P=0,997, то (3σ)

, (4.18)

. (6.19)

Для определения дисперсии признака в генеральной совокупности используются приближенные методы.

1. 
   Можно провести несколько пробных обследований и по ним выбирать наибольшее значение дисперсии , где достаточно пробных наблюдений.
   
2. 
   Можно использовать данные прошлых или аналогичных обследований.
   
3. 
   Можно использовать размах вариации , если распределение нормальное, то , т.е. .
   

Объем выборки NПовторный отборБесповторный отборПри определении среднего размера признака, (4.20), (4.22)При определении доли признака, (4.21). (4.23)

4.4 Формы организации выборочного наблюдения

Типическая (стратифицированная) выборка: общий список разбивается на отдельные списки (однородной группы). Общий объем выборки n разбивается пропорционально между списками:

1-й вариант

, (4.24)

где n – объем выборки

N – объем генеральной совокупности

n_i – число наблюдений из i-ой типической группы

N_i – объем i-ой типической группы в генеральной совокупности.

2-й вариант – равномерный (из каждой группы поровну)

, (4.25)

где k – число групп.

3-й вариант – оптимальный (для групп с большей вариацией признака объем наблюдений увеличивается)

. (4.26)

Серийная (гнездовая) выборка – в случайном порядке отбираются серии сплошного контроля. Тогда в сериях определяется без случайной ошибки. При равновеликих сериях стандартная ошибка выборки определяется

, (4.27)

где s – число серий;

δ – межгрупповая дисперсия.

При бесповторном отборе

, (4.28)

где S – общее число серий в генеральной совокупности.
Механическаявыборка – при ранжировании генеральной совокупности устанавливается шаг отбора в зависимости от предполагаемого % отбора. Если совокупность не ранжирована, то это случайный отбор, т.е. по известным формулам.

, (4.29)

Механический отбор удобен, прост и широко применяется, так при 2%-й выборке отбирается каждая 500-я единица (1:0,02), при 5%-й – каждая 20-я.
Пример

Исходя требований ГОСТа необходимо установить оптимальный размер выборки из партии изделий 2000 штук, чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка не превысила 3% от веса 500 гр. Изделия (батона).

Решение.

гр для средней количественного признака

шт.

5. Статистические методы изучения взаимосвязи социально-экономических явлений

Корреляционнаясвязь (частный случай стохастической) – связь, проявляющаяся при достаточно большом числе наблюдений в виде определенной зависимости между средним значением результативного признака и признаками-факторами.

Задачакорреляционногоанализа – измерение тесноты связи между варьируемыми признаками и оценка факторов, оказывающих наибольшее влияние.

Задачарегрессионногоанализа – выбор типа модели (формы связи), устанавливающих степени влияния независимых переменных.

Связь признаков проявляется в их согласованной вариации, при этом одни признаки выступают как факторные, а другие – как результативные. Причинно-следственная связь факторных и результативных признаков характеризуется по степени:

• 
  тесноты;
  
• 
  направлению;
  
• 
  аналитическому выражению.
  

5.1 Регрессионный анализ

Для оценки параметров уравнений регрессии наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК), суть которого заключается в следующем требовании: искомые ⅱ褪顆褥èå 鈿璞褊 銛ü粹魲î ð韈浯à должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минимальная сумма квадратов их отклонений от эмпирических (фактических) значений, т.е.

. (5.1)

При изучении связей показателей применяются различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. Так, при анализе прямолинейной зависимости применяется уравнение:

(5.2)

Это наиболее часто используемая форма связи между коррелируемыми признаками, при парной корреляции она выражается уравнением (6.2), где а₀ – среднее значение в точке x=0, поэтому экономической интерпретации коэффициента нет; а₁ – коэффициент регрессии, показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

При криволинейной зависимости применяется ряд математических функций:

полулогарифмическая (5.3)

показательная (5.4)

степенная (5.5)

параболическая (5.6)

гиперболическая (5.7)
Система нормальных уравнений МНК для линейной парной регрессии имеет следующий вид:

_(5.8)

Отсюда можно выразить коэффициенты регрессии:

;

. (5.9)

При численности объектов анализа до 30 единиц возникает необходимость проверить, насколько вычисленные параметры типичны для отображаемого комплекса условий, не являются ли полученные значения параметров результатом действия случайных причин. Значимость коэффициентов регрессии применительно к совокупности n<30 определяется с помощью t-критерияСтьюдента. При этом вычисляются фактические значения t-критерия:

для параметра а₀: , (5.10)

для параметра а₁: . (5.11)

В формулах (6.10) и (6.11):

– среднее квадратическое отклонение результативного признака от выровненных значений . (5.12)

– среднее квадратическое отклонение факторного признака от общей средней . (5.13)

Полученные по формулам (5.10) и (5.11) фактические значения и сравниваются с критическим , который получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы ν(ν=n-k-1, где n – число наблюдений, k – число факторов, включенных в уравнение регрессии). Рассчитанные параметры а₀ и а₁ уравнения регрессии признаются типичными, если tфактическое больше tкритического.

На практике часто приходится исследовать зависимость результативного признака от нескольких факторных признаков. Аналитическая форма связи результативного признака от ряда факторных признаков выражается и называется многофакторным (множественным) уравнением регрессии.

Линейное уравнение множественной регрессии

. (5.14)

Система нормальных линейных уравнений МНК для оценки коэффициентов двухфакторной регрессии имеет вид:

_(5.15)

5.2 Корреляционный анализ

Различают:

• 
  парную корреляцию – это зависимость между результативным и факторным признаком;
  
• 
  частную корреляцию – это зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков;
  
• 
  множественную – многофакторное влияние в статической модели .
  

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции, который рассчитывается по одной из формул:

(5.16)

. (5.17)

Оценка линейного коэффициента корреляции

Значение rХарактер связиИнтерпретация связиr = 0ОтсутствуетИзменение x не влияет на изменения y0 < r < 1ПрямаяС увеличением x увеличивается y-1 > r > 0ОбратнаяС увеличением x уменьшается y и наоборотr = 1ФункциональнаяКаждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента. Для этого определяется фактическое значение критерия :

, (5.18)

Вычисленное по формуле (6.18) значение сравнивается с критическим , который получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы ν. Коэффициент корреляции считается статистически значимым, если t_расч превышает : t_расч > .

Универсальным показателем тесноты связи является ⅱ褪顆褥îå î褄…í濵å ⅳ濵湜å:

, (5.19)

где – общая дисперсия ©ï頏顆褥èõ 鈿璞褊韜 y, характеризует вариацию результативного признака за счет всех факторов, включая х;

– факторная дисперсия ⅱ褪顆褥èõ 鈿璞褊韜 результативного признака, отражает влияние фактора х на вариацию у;

– остаточная дисперсия ©ï頏顆褥èõ 鈿璞褊韜 результативного признака, отражает влияние на вариацию у всех остальных факторов кроме х.

По правилу сложения дисперсий:

, т.е. . (5.19)

Оценка связи на основе теоретического корреляционного отношения (шкала Чеддока)

Значение Характер связиЗначение Характер связиη = 0Отсутствует0,5 ≤ η < 0,7Заметная0 < η < 0,2Очень слабая0,7 ≤ η < 0,9Сильная0,2 ≤ η < 0,3Слабая0,9 ≤ η < 1Весьма сильная0,3 ≤ η < 0,5Умереннаяη = 1ФункциональнаяДля линейной зависимости ⅱ褪顆褥îå î褄…í濵å ⅳ濵湜å 趾褥褊濵 линейному коэффициенту корреляции, т.е. η = |r|.

Множественный коэффициент корреляции в случае зависимости результативного признака от двух факторов вычисляется по формуле:

, (5.20)

где – парные коэффициенты корреляции между признаками.

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: .

Условие включения факторных признаков в регрессионную модель – наличие тесной связи между результативным и факторными признаками и как можно менее существенная связь между факторными признаками.

Значимость коэффициента множественной детерминации, а соответственно и адекватность всей модели и правильность выбора формы связи можно проверить с помощью критерия Фишера:

, (5.21)

где R² – коэффициент множественной детерминации (R² );

k – число факторных признаков, включенных в уравнение регрессии.
Связь считается существенной, если F_расч > F_табл – табличного 鈿璞褊 F-критерия для заданного уровня значимости α и числе степеней свободы ν₁ = k,ν₂ = n–k–1.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи результативного признака и фактора, при элиминировании его взаимосвязи с остальными факторами, включенными в анализ. Расчет частных коэффициентов корреляции в случае двухфакторной регрессии (в первом случае исключено влияние факторного признака х₂, во втором – х₁):

; , (5.22)

где r – парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

Для оценки сравнительной силы влияния факторов, по каждому фактору рассчитывают частные коэффициенты эластичности:

, (5.23)

где – среднее значение соответствующего факторного признака;

– среднее значение результативного признака;

– коэффициент регрессии при i-м факторном признаке.

Данный коэффициент показывает, на сколько процентов следует ожидать изменения результативного показателя при изменении фактора на 1% и неизменном значении других факторов.

Частный коэффициент детерминации показывает, на сколько процентов вариация результативного признака объясняется вариацией i-го признака, входящего в множественное уравнение регрессии, рассчитывается по формуле:

, (5.24)

где – парный коэффициент корреляции между результативным и i-м факторным признаком;

– соответствующий стандартизованный коэффициент уравнения множественной регрессии:

. (5.25)

Пример

По данным о стоимости основных производственных фондов (С_ОПФ) и объеме валовой продукции (ВП) определить линейное уравнение связи.
Номер предприятияС_ОПФ ( ), млн. руб.ВП (y),

млн. руб. ^{2 2} 112020140019,40,3620,25222550462525012,25333193996130,60,166,2544311241696136,227,042,25554020025160041,83,240,25665633636313647,473,960,2577523644927045312,25886048064360058,61,966,25996054081360064,217,6412,25101070700100490069,80,0420,25Сумма55445290738522487445125,482,5Среднее5,544,5290,738,52248,744,5

;

.

Уравнение регрессии имеет вид:

.

Следовательно, с увеличением стоимости основных фондов на 1 млн.руб. объем валовой продукции увеличивается в среднем на 5,6 млн. руб.

Проверим значимость полученных коэффициентов регрессии. Рассчитаем и :





для параметра а₀:

для параметра а₁: .

По таблице Стьюдента с учетом уровня значимости =5% и числа степеней свободы ν =10-1-1=8 получаем =2,306.

Фактические значения и превышают табличное критическое значение . Это позволяет признать вычисленные коэффициенты корреляции типичными.

Пример По данным предыдущего примера оценить тесноту связи между признаками, оценить значимость найденного коэффициента корреляции.

, или .

_{Значение коэффициента корреляции свидетельствует о сильной прямой связи между рассматриваемыми признаками.}



Значение t_расч превышает найденное по таблице значение =2.306, что позволяет сделать вывод о значимости рассчитанного коэффициента корреляции.
Пример Имеются некоторые данные о среднегодовой стоимости ОПФ (С_ОПФ), уровне затрат на реализацию продукции (З_РП) и стоимости реализованной продукции (РП). Считая зависимость между этими показателями линейной, определить уравнение связи; вычислить множественный и частные коэффициенты корреляции, оценить значимость модели.

С_ОПФ (х₁), млн.руб.З_РП (х₂),

в % к РПРП (y), млн.руб. х₁х₂х₁yх₂y 342091612608020,363325999757520,055320259151006024,21653036253018015026,9171032491007022432030,5461225361447215030029,0881229641449623234833,2491137811219933340735,01915368122513532454036,2510154010022515040060038,33 = 66 = 90 = 294 = 490 = 1018 = 688 = 2078 = 2880 = 294 =6,6 =9,0 =29,4–– =68,8 =207,8 =288,0–Решение. Составим систему нормальных уравнений МНК:



Выразим из 1-го уравнения системы a₀ = 29,4 – 6,6·a₁ – 9·a₂.

Подставив во 2-е уравнение это выражение, получим:

.

Далее подставляем в 3-е уравнение вместо a₀ и a₁ полученные выражения и решаем его относительно a₂ с точностью не менее 3-х знаков после запятой. Итак:

a₀ = 12,508; a₁ = 2,672; a₂ = – 0,082; = 12,508 + 2,672·х₁ – 0,082·х₂.

= = 0,884;

= = 0,777;

= = 0,893;

=0,893.

Проверим значимость r (α = 0,01 и ν = 7):

= 5,00; = 3,27.

=5,00 > t_табл=3,50 – коэффициент корреляции x₁ значим;

=3,27 < t_табл=3,50 – коэффициент корреляции x₂ не значим.

Произведенные расчеты подтверждают условие включения факторных признаков в регрессионную модель – между результативным и факторными признаками существует тесная связь ( = 0,884; = 0,777), однако между факторными признаками достаточно существенная связь ( = 0,893). Включение в модель фактора x₂ незначительно увеличивает коэффициент корреляции ( = 0,884; =0,893), поэтому включение в модель фактора x₂ неå髜鈿î.

ﾂ飼頌èì стандартизованные коэффициенты уравнения множественной регрессии:



ﾎ™萵 糺韲 燾å î©頽韃炅û 蒟竟璋韋:



ò.å. 籵璋 銛ü粹魲î ð韈浯à 髜…褪 肭珞燾ì 髜鉋ì 籵璋韃é òⅱà x1.

ﾂ飼頌èì 燾å î©頽韃炅û ©à顆濵è:



ﾏ粢ì 琅裲籵ⅲ î蒟è 浯 ⅲ濵粢 ð頸褞 ﾔ顏褞à:



Найдем значение табличного значения F-критерия для уровня значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν1 = 2, ν2 = 10 –2 – 1 : Fтабл=4,74. Превышение значения Fрасч над значением Fтабл позволяет считать коэффициент множественной детерминации значимым, а соответственно и модель – адекватной, а выбор формы связи - правильным.
6. Ряды динамики
6.1 Анализ динамических рядов

Динамический ряд представляет собой хронологическую последовательность числовых значений статистических показателей.

Виды рядов динамики (РД):

1) моментные (моментальные) РД;

2) интервальные РД;

3) РД с нарастающими итогами;

4) производные РД.

Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени. Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Пример моментного ряда динамики:

Дата1.01.20011.04.20011.07.20011.10.20011.01.2002Число работников, чел.192190195198200Интервальные ряды динамики отображают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени. Каждый уровень интервального ряда складывается из данных за более короткие интервалы. Пример интервального ряда динамики:

Год19971998199920002001Объем розничного товарооборота, тыс. руб.885,7932,6980,11028,71088,4Статистическое отображение развития изучаемого явления во времени может быть представлено рядами динамики с нарастающими итогами. Их применение обусловлено потребностями в результатах развития изучаемых показателей не только за данный отчетный период, но и с учетом предшествующих периодов. При составлении таких рядов производится последовательное суммирование смежных уровней. Этим достигается суммарное обобщение результата развития изучаемого показателя с начала отчетного периода (месяца, квартала, года и т.д.).

Производные ряды – ряды, уровни которых представляют собой не непосредственно наблюдаемые значения, а производные величины: средние или относительные.

Основные направления изучения закономерностей развития социально-экономических явлений с помощью рядов динамики:

• 
  характеристика уровней развития изучаемых явлений во времени;
  
• 
  измерение динамики изучаемых явлений посредством системы статистических показателей;
  
• 
  выявление и количественная оценка основной тенденции развития (тренда);
  
• 
  изучение периодических колебаний;
  
• 
  экстраполяция и прогнозирование.
  

Таблица 8.1 Уровни (показатели) ряда динамики

ﾏ鶴珸瑣褄üФормулаБазисныеАбсолютный приростΔ = y_i – у₀ (6.1)Темп роста (6.2)Темп прироста (6.3)ЦепныеАбсолютный приростΔ = y_i – y_i-1 (6.4)Темп роста (6.5)Темп прироста (6.6)Темп наращивания ^(6.7)Абсолютное значение 1% прироста (6.8)СредниеАбсолютный прирост = (6.9)Темп роста (6.10)Темп прироста (6.11)

Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней.

Средний уровень интервальногоряда определяется по формуле средней арифметической простой:

, (6.12)

聿å n – î 魵淲é.

В моментном ряду динамики с равностоящими датами средний уровень определяется по формуле среднейхронологическойпростой:

. (6.13)

В моментном ряду динамики с неравноотстоящими датами средний уровень определяется по формуле среднейхронологическойвзвешенной:

, (6.14)

где у_i – уровни ряда динамики, сохранившиеся без изменения в течение промежутка времени t_i.

Между базисными и цепными темпами роста имеется взаимосвязь: произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста, а частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста.

; . (6.15)

6.2 Методы анализа тенденций рядов динамики

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления. На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Основная тенденция (тренд) – изменение, определяющее общее направление развития, это систематическая составляющая долговременного действия.

Задача – выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. Методы выявления тренда:

1) Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявить направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития, в то время как слишком малые интервалы между наблюдениями приводят к появлению ненужных деталей в динамике процесса, засоряющих общую тенденцию.

МесяцОбъем выпуска, млн.руб. МесяцОбъем выпуска, млн.руб. Январь5,1Июль5,6Февраль5,4Август5,9Март5,2Сентябрь6,1Апрель5,3Октябрь6,0Май5,6Ноябрь5,9Июнь5,8Декабрь6,2Различные направления изменений уровней ряда по отдельным месяцам затрудняют выводы об основной тенденции производства. Если соответствующие месячные уровни объединить в квартальные и вычислить среднемесячный выпуск продукции по кварталам, т.е. укрупнитьинтервалы, то решение задачи упрощается.

КварталОбъем производства, млн.руб.в кварталв среднем в месяц115,75,23216,75,57317,65,87418,16,03После укрупнения интервалов основная тенденция роста производства стала очевидной: 5,23<5,57<5,87<6,03 млн.руб.

2) Метод скользящей средней заключается в том, что исчисляется средней уровень из определенного числа (обычно нечетного) первых по счету уровней ряда, затем – из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее – начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы “скользит” по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

Недостатком сглаживания ряда является укорачивание сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а, следовательно, потеря информации.

ГодУрожайность, ц/гаСкользящая средняятрехлетняяпятилетняя199115,4––199214,015,7 = 15,4+14,0+ +17,6)/3–199317,615,7 = 14,0+17,6+ +15,4)/314,7199415,414,615,1199510,914,615,3199617,514,515,5199715,017,015,2199818,515,916,0199914,215,9–200014,9––Итого153,4

Сглаженный ряд урожайности по трехлетиям короче фактического на один член ряда в начале и в конце, по пятилетиям – на два члена в начале и в конце ряда. Он меньше, чем фактический, подвержен колебаниям из-за случайных причин, и четче выражает основную тенденцию роста урожайности за изучаемый период, связанную с действием долговременно существующих причин и условий развития.

Укрупнение интервалов и метод скользящей средней дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных или волнообразных колебаний. Получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.


Рис. 8.2. Эмпирические и сглаженные уровни ряда динамики

3) Аналитическое выравнивание ряда динамики используется для того, чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней ряда динамики во времени.

Общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

w_t = f(t), (6.16)

где w_t – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) уровней w_t производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.

Простейшими моделями, выражающими тенденцию развития, являются (где a₀,a₁ – параметры уравнения; t – время):

Линейная функция (прямая) w_t = a₀ + a₁·t. (6.17)

Показательная функция . (6.18)

Степенная функция (парабола) w_t = a₀ + a₁·t + a₂·t². (6.19)

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов. Выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней y_i плавно изменяющимися уровнями w_t, наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.

Выравнивание по прямой используется в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии.

Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

Выравнивание ряда динамики по прямой w_t = a₀ + a₁·t. Параметры a₀,a₁ согласно МНК находятся решением следующей системы нормальных уравнений:

(6.20)

где y – фактические (эмпирические) уровни ряда;

t – время (порядковый номер периода или момента времени).

 t = 0, так что система нормальных уравнений (8.20) принимает вид:

(6.21)

Отсюда можно выразить коэффициенты регрессии:

; (6.22)

. (8.23)

Если расчеты выполнены правильно, то  y =  wt.
Пример

Для выравнивания ряда из примера 8.3 используем линейную трендовую модель – уравнение прямой w_t = a₀ + a₁·t. n = 10. Расчет уравнения регрессии выполним в табличной форме.

Таким образом,

 y =153,4;  y·t = 6,8;  t² = 330.

Вычислим параметры a₀,a₁ по формулам (8.22, 8.23):

= 15,34; = 0,021.

Расчет уравнения регрессии

Годytt²y·tw_ty_i – w_t(y_i– w_t)²12345678199115,4-981-138,615,150,250,0625199214,0-749-98,015,19-1,191,4161199317,6-525-88,015,232,375,6169199415,4-39-46,215,280,120,0144199510,9-11-10,915,32-4,4219,5364199617,51117,515,362,144,5796199715,03945,015,40-0,400,0160199818,552592,515,453,059,3025199914,274999,415,49-1,291,6641200014,9981134,115,53-0,630,3969Итого153,403306,8153,4042,6050

Уравнение прямой будет иметь вид:

w_t = 15,34+0,021·t.

Подставляя в данное уравнение последовательно значения, находим выравненные уровни w_t (гр. 6 табл. 7.3).

Проверим расчеты:

 y =  w_t = 153,4.

Следовательно, значения уровней выравненного ряда найдены верно.

Полученное уравнение показывает, что, несмотря на значительные колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция увеличения урожайности: с 1991 по 2000 г. урожайность зерновых культур в среднем возрастала на 0,021 ц/га в год.

Тенденция роста урожайности зерновых культур в изучаемом периоде отчетливо проявляется в результате построения выравненной прямой.
6.3 Сезонные колебания

Уровни ряда динамики 頏… îä 粱湜褌 鉈顆燾õ 粡琲î蒟鴦õ òⅱ魵, 鮏湜 韈 îõ ⅰ蒟™ò 淸褊™ 鈔頸, à 蓿韃 –îå硴褌ⅲ (籵璋)

ﾊ鸙裔瑙 魵淲é 萵 濵ò 鉈顆燾é ò褞. ﾍ瑩…蔘 ñ 褊蒡ì 糺蒟™ò ë顆褥èå (蒡ãⅰ褞韶蒻韃), 鉋澵鐱 (髜浯跖籵褌鐱 â 萵õ, 聿å 萵澵鐱 ð鞣裝褊û 鈞 â瑩û 齏è å) è 琺燾å îå矜湜….

– è湜… 褊萵

– 裝湜é 魵褊ü

ó_i – ò顆褥èå 魵湜

ﾊ鸙裔瑙 ò顆褥èõ 魵淲é y_i ⅳ濵ü濵 裝淲胛 魵 è è湜è 褊萵

Периодические колебания являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также многочисленных и разнообразных факторов, которые часто являются регулируемыми.

В широком понимании к сезонным относят все явления, которые обнаруживают в своем развитии четко выраженную закономерность периодических изменений, т.е. более или менее устойчиво повторяющиеся колебания уровней.

Динамический ряд в этом случае называют сезонным рядом динамики.

Метод изучения и измерения сезонности заключается в построении специальных показателей, которые называются индексами сезонности.

Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригрупповых уровней к теоретическим уровням, выступающим в качестве базы сравнения. Порядок определения индекс сезонности:

1. 
   Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня
   
2. 
   Затем вычисляется среднемесячный уровень для всего ряда
   
3. 
   Определяется показатель сезонной волны – индекс сезонности I_s:
   

, (6.24)

где – средний уровень для каждого месяца;

– среднемесячный уровень для всего ряда.

Когда уровень проявляет тенденцию к росту или к снижению, то отклонения от постоянного среднего уровня могут исказить сезонные колебания.
Пример

МесяцОбъем пассажирских авиаперевозокI_s, %199719981999Средний194,089,392,692,091,1298,093,196,695,995,03107,6102,2106,2105,3104,24112,8107,1111,4110,4109,35121,2115,2119,8118,7117,66112,0106,4110,6109,7108,67110,0104,5108,6107,7106,68102,597,4101,1100,399,3997,092,295,694,994,01094,089,392,692,091,11196,491,695,094,393,41292,587,991,190,589,6Итого1237,91176,01221,11211,71199,7В среднем103,298,0101,8101,0100,0Средний индекс сезонности для 12 месяцев должен быть равен 100%, тогда сумма индексов должна составлять 1200%. У нас – 1199,7% (погрешность – следствие округлений). Значит, расчеты верны.

Выводы:

1) объем пассажирских авиаперевозок характеризуется ярко выраженной сезонностью;

2) объем пассажирских авиаперевозок по отдельным месяцам года значительно отклоняется от среднемесячного;

3) наибольший объем характерен для мая, наименьший – для декабря.

Для наглядного изображения сезонной волны индексы сезонности изображают в виде графика.

ﾈ淸裲ñ 鉋澵ⅲ 珞鞨å粽鉋ê à琥頏魵