Теория вероятностей и математическая статистика. Закон распределения случайной величины. Математическое ожидание 28 Дисперсия случайной величины 32

• Название: Закон распределения случайной величины. Математическое ожидание 28 Дисперсия случайной величины 32
• Анкор: Теория вероятностей и математическая статистика.docx
• Дата: 01.12.2017
• Размер: 361.49 Kb.
• Имя файла: Теория вероятностей и математическая статистика.docx
• Тип: Закон; #10596
• страница: 11 из 12

Проверка статистических гипотез

Статистическая гипотеза – это любое предположение о виде или о значениях параметров вероятностного распределения.

При проверке статистических гипотез ту гипотезу, которую проверяют, принято называть нулевой гипотезой и обозначать H_о. Одновременно рассматривают альтернативную (конкурирующую) гипотезу Н₁. Гипотезы H_о и Н₁должны быть противоположны друг другу.
Принцип проверки статистических гипотез заключается в следующем. На основе выборки данных рассчитывают некий показатель , который называют статистикой критерия. Этот показатель является случайной величиной (поскольку он рассчитывается по выборке), но его выбирают таким образом, что его вероятностное распределение известно (возможно, приближенно). Кроме того, значение  должно быть связано с тем, выполняется или нет проверяемая гипотеза. Все возможные значения  разбивают на две непересекающиеся области – область принятия гипотезы и критическую область (в которой гипотеза отклоняется). Например, выбирают критическое значение статистики критерия _кр такое, что если гипотеза верна, то вероятность α превысить это значение α = Р( > _кр) очень мала (α = Р( > _кр)). Тогда при  ≤ _кр гипотеза принимается, а при всех остальных значениях  отклоняется H_о.

Правило проверки статистической гипотезы называют статистическим критерием.
Однако, с вероятностью α может быть все же допущена ошибка (т.е. гипотеза H_о будет отвергнута, хотя на самом деле она верна). Это может произойти потому, что значение статистики попало в критическую область случайно. Такую ошибку называют ошибкой первого рода, а соответствующую вероятность называют уровнем значимости критерия. Она должна быть небольшой.

Кроме того, может быть допущена также ошибка второго рода : она заключается в том, что гипотеза H_о принимается, хотя на самом деле она является неверной (а верна альтернативная гипотеза H₁). Отметим, что при проверке одной и той же гипотезы по выборке одного и того же объема невозможно одновременно уменьшить вероятность ошибок первого и второго рода. Это связано с тем, что с ростом критической области одновременно растут и α, и . Ведь чем больше критическая область, тем больше вероятность отклонить гипотезу и меньше вероятность ее принять (соответственно, больше вероятность отклонить верную или принять неверную). Вероятность НЕ допустить ошибку второго рода называется мощностью критерия (она равна 1 – ).

Одновременно увеличить мощность критерия и уменьшить уровень значимости можно только за счет увеличения объема выборки, потому что только при этом условии выборочные значения показателей будут более точно отражать истинные характеристики распределения, а вероятность случайных отклонений уменьшится.
Например, на склад поступила партия изделий. Из нее отбирают часть изделий для проверки на брак. По результатам проверки будет принята или отвергнута нулевая гипотеза, которая состоит в следующем: доля бракованных изделий в партии невелика, и партию можно принять. Предположим вначале, что в выбранных изделиях доля бракованных была велика, и по результатам выборочного контроля всю партию забраковали. Однако, есть вероятность, что проверяющему случайно попались именно плохие изделия, и на самом деле партию надо было принять, потому что остальные изделия не содержат брака. В этом случае была допущена ошибка первого рода, т.е. отклонили верную нулевую гипотезу (отвергли хорошие изделия). Теперь предположим, что в выбранных изделиях доля бракованных была невелика, и по результатам выборочного контроля партию приняли. Однако, есть вероятность, что проверяющему случайно попались именно хорошие изделия, и на самом деле партию надо было забраковать. В этом случае была допущена ошибка второго рода, т.е. принята неверная нулевая гипотеза. Из приведенных примеров видно, что чем больше изделий будет выбрано для проверки, тем меньше риск совершить и ту, и другую ошибку. При равном объеме выборки чем строже критерии проверки (больше критическая область), тем больше вероятность допустить ошибку первого рода и меньше – второго (и наоборот).

В юриспуденции под нулевой гипотезой обычно имеется в виду гипотеза о том, что подсудимый невиновен. Соответственно, ошибка первого рода – это обвинение невиновного, а ошибка второго рода – это оправдание виновного. Задание низкого уровня значимости означает, что вероятность ошибки первого рода должна быть маленькой, т.е. риск принять неверное, «обвинить невиновного» должен быть маленьким.
В зависимости от вида критической области все статистические критерии принято делить на три основных класса. Рассмотрим их на примере, в котором статистика  имеет стандартное нормальное распределение (т.е.
 = N(0; 1)) и задан пятипроцентный уровень значимости (α = 0,05):

1) правосторонняя критическая область задается неравенством

 > _кр

Если α = 0,05, то площадь под графиком плотности стандартного нормального распределения справа от прямой х = _кр должна составлять 0,05. Вся площадь под этим графиком справа от вертикальной оси составляет 0,5. Чтобы найти значение _кр, воспользуемся функцией Лапласа, которая должна здесь принять значение 0,5 – 0,05 = 0,45. Такое значение соответствует
_кр = 1,64.

Рисунок 20 – Правосторонняя критическая область




На рисунке 20 площадь заштрихованной фигуры составляет 0,05, т.е. 5% от единицы (от общей площади графика под функцией плотности вероятности). Это означает, что Р( > _кр) = α = 0,05. С такой вероятностью проверяемая гипотеза будет все-таки отвергнута, даже если она на самом деле верна. Если фактическое значение статистики критерия  ≤ _кр, гипотеза принимается.
2) левосторонняя критическая область задается неравенством

 < _кр

Такое значение соответствует _кр = -1,64. На рисунке 21 площадь заштрихованной фигуры также составляет 0,05, т.е. Р( < _кр) = α = 0,05. Если фактическое значение статистики критерия  ≥ _кр, гипотеза принимается.


Рисунок 21 – Левосторонняя критическая область



3) двусторонняя критическая область задается неравенствами



Поскольку площадь под графиком плотности распределения в критической области должна составлять 0,05, площадь каждого из двух заштрихованных участков на рисунке 22 должна составлять 0,025 (т.е. α/2). Тогда функция Лапласа при х = _кр2 должна принять значение 0,5 – 0,025 = 0,475. Такое значение соответствует _кр2 = 1,96. Соответственно, _кр1 = -1,96.

Итак, при использовании двустороннего критерия Р( < _кр1) =
= Р( > _кр2) = α/2. Если _кр1 ≤  ≤ _кр2, гипотеза принимается.

Рисунок 22 – Двусторонняя критическая область



Рассмотрим следующий пример. Машина для расфасовки специй при поставке была отрегулирована так, чтобы средняя масса специй в пакетике в пробной партии из 50 штук составляла ₀ = 90 (г) при СКО _х = 10 (г). Из расфасованной через месяц партии было отобрано 60 пакетиков, и средняя масса специй в пакетике составила ₀ = 86 (г) при СКО _y = 8,5 (г). Необходимо выяснить, является ли это случайным совпадением, или регулировка машины нарушена.

Сформулируем нулевую гипотезу: регулировка не нарушена. Это означает, что на самом деле средние величины при поставке и в настоящий момент равны, т.е. М( - ) = М() – М() = 0. Будем считать, что случайная величина - имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0.

Найдем СКО этой случайной величины.

Какова дисперсия случайной величины ? D() = D((x_i)/n)) =
= (D(x_i))/n² = (D(x_i))/n² = ²_х*n/n² = ²_х/n, где n = 50, т.е. D() = 100/50 = 2.

Аналогично D() = ²_y/n, где n = 60, т.е. D() = 8,5²/60 = 72,25/60  1,2.

Тогда D( - ) = D() + D() = 3,2, а СКО  1,79.

Итак, ( - ) = N(0; 1,79).

Тогда статистика  = ( - )/1,79 будет иметь стандартное нормальное распределение, т.е.  = N(0, 1). Взяв в качестве оценок генеральных средних выборочные оценки ₀ и ₀, рассчитаем фактическое значение статистики критерия:  = ()/1,79  2,23.

Зададимся уровнем значимости 5%. Построим двустороннюю критическую область: если фактический критерий попадает в нее, то это означает, что разница между средними слишком существенно отличается от нуля в ту или другую сторону; и тогда гипотезу о равенстве средних надо отвергнуть. По таблице функции Лапласа найдем границы этой области: Ф(_кр2) = 0,5 – 0,05/2 = 0,475, тогда _кр2 = 1,96; _кр1 = -1,96. Так как 2,23 > 1,96, гипотеза Н₀ отвергается, т.е. регулировка машины нарушена. Однако, существует пятипроцентная вероятность, что этот вывод сделан случайно (т.е на самом деле с машиной все в порядке, просто были сделаны неудачные выборки).

Зададимся уровнем значимости 2%. Тогда границы критической области найдем по таблице функции Лапласа для значения этой функции Ф(_кр2) = 0,5 – 0,02/2 = 0,49, тогда тогда _кр2 = 2,34; _кр1 = -2,34. Так как 2,23 > 2,34, на двухпроцентном уровне значимости можно принять нулевую гипотезу. Т.е. считать, что регулировка машины не нарушена.