Теория вероятностей и математическая статистика. Закон распределения случайной величины. Математическое ожидание 28 Дисперсия случайной величины 32
![]()
|
Графическое представление вариационных рядовДля более наглядного представления временных рядов используют следующие виды графиков. 1. Полигон распределения представляет собой график частот. Это ломаная линия, абсциссы вершин которой соответствуют вариантам, а ординаты – частотам. Обычно его используют для дискретных вариационных рядов. На рисунке 17 представлен полигон распределения для вариационного ряда, приведенного в таблице 5. 2. Кумулята представляет собой график накопленных частот (ее еще называют кумулятивной кривой). На рисунке 17 представлена кумулята для того же самого ряда. Рисунок 17 – Полигон распределения и кумулята 3. График эмпирической функции распределения представляет собой график накопленных относительных частот, т.е. относительных частот того, что признак принял значение, меньшее заданного. Для примера из таблицы 5 он представлен на рисунке 18 (рекомендуется сравнить с графиком функции распределения, которая рассматривалась при изучении теории вероятностей). 4. Гистограмма распределения представляет собой фигуру, составленную из прямоугольников, каждый из которых соответствует интервалу сгруппированного ряда, а их высота равна соответствующим частотам. Для примера из таблицы 4 гистограмма распределения представлена на рисунке 19. Для сгруппированного ряда можно также построить полигон распределения (соединив отрезками середины верхних оснований прямоугольников гистограммы) и кумуляту (см. рисунок 19). Рисунок 18 – Эмпирическая функция распределения Рисунок 19 – Кумулята, полигон и гистограмма распределения для сгруппированного вариационного ряда Показатели вариацииСредние вариационного рядаОсновным показателем вариации называется среднее арифметическое вариационного ряда ![]() ![]() где n – общее число наблюдений; m – число вариант; ni – частота варианты хi; wi – относительная частота варианты хi. Например, для таблицы 5 среднее арифметическое ![]() Свойства этой средней величины аналогичны свойствам математического ожидания. Кроме того, если вариационный ряд разбит на несколько групп, то среднее арифметическое всего ряда можно рассчитать, как среднее арифметическое групповых средних: ![]() где n – общее число наблюдений; k – число групп; ![]() ni – число наблюдений в i-й группе. Например, если среди ста студентов, оценки которых приведены в таблице 5, присутствуют студенты двух различных специальностей, то можно разбить этот вариационный ряд на две группы (см. таблицы 7 и 8). По данным второго и третьего столбцов этих таблиц можно рассчитать средний балл для студентов специальности № 1 (он составил 4,12 балла) и средний балл для студентов специальности № 2 (он составил 3,875 балла). Теперь для расчета общей средней можно воспользоваться вышеприведенной формулой: (4,12*60 + 3,875*40) /100 = 4,02 (балла), - что совпадает с полученным ранее результатом. Если всех студентов, данные о которых приведены в таблице 5, выстроить в ряд по возрастанию полученного ими балла, то из этих ста человек в середине стояли бы студенты под номерами 50 и 51 от начала ряда. Оба эти студента получили оценку 4, так как накопленная частота для оценки 3 составляет 28, а для оценки 4 она составляет 67 (все студенты под номерами с 29-го по 67-й включительно получили оценку 4). То значение варианты, которое соответствует середине вариационного ряда, называется медианой и обозначается Me. Если число наблюдений – нечетное, то медианный номер равен (n + 1)/2; а если четное – то медианных номеров два: n/2 и ((n/2) +1), а сама медиана рассчитывается, как среднее арифметическое этих двух вариант. В примере из таблицы 5 медианные номера 50 и 51, а Me = (4 + 4)/2 = = 4 (балла). Та варианта, которая встречается в вариационном ряду чаще всего, называется модой (мода – это то значение признака, которое встречается у большинства наблюдений) и обозначается Mo. В таблице 5 Mo = 4 (балла), так как этой варианте соответствует наибольшая частота 39. Для интервального вариационного ряда используется несколько более сложная методика расчета рассмотренных средних, которую здесь рассматривать не будем. В вышеприведенном примере Мо = Ме = 4 4,02 = ![]() ![]() Таблица 6 – Дискретный вариационный ряд
Оценки разбросаДля оценки разброса значений вариационного ряда используются показатели размаха, отклонений и коэффициента вариации. Размах вариации представляет собой разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант. Например, для таблицы 4 размах R составил R = 5 – 2,5 = 2,5 (балла). Для таблиц 5 и 6 R = 5 – 2 = 3 (балла). Среднее линейное отклонение представляет собой среднее арифметическое модулей отклонений вариант от своего среднего арифметического; рассчитывается по формуле: ![]() Для примера из таблицы 5 d = (|2 – 4,02|*3 + |3 – 4,02|*25 + + |4 – 4,02|*39 + |5 – 4,02|*33)/100 = 0,6468 (балла), т.е. в среднем оценка студента отличается от среднего балла примерно на 0,6 балла. Отметим, что если в этой формуле убрать знак модуля, то отклонения в разные стороны компенсируют друг друга, и результат окажется равным нулю (по соответствующему свойству среднего арифметического, аналогичного свойству математического ожидания). Если вместо взятия по модулю возвести отклонение в квадрат, получим дисперсию вариационного ряда ![]() Для примера из таблицы 5 ![]() ![]() Свойства дисперсии для вариационного ряда аналогичны свойствам дисперсии в теории вероятностей. Для ее расчета можно вывести аналогичную формулу: ![]() Кроме того, если ряд состоит из нескольких отдельных групп наблюдений (пусть их число равно k), то его дисперсию можно рассчитать по следующей формуле: ![]() где ![]() ![]() ![]() Чтобы проиллюстрировать это правило, вернемся к примеру, в котором данные из таблицы 5 разбиты на две (k = 2) группы и представлены в таблицах 7 и 8. Таблица 7– Оценки для специальности № 1
Рассчитаем групповую дисперсию для таблицы 7 по формуле ![]() Таблица 8– Оценки для специальности № 2
Рассчитаем групповую дисперсию для таблицы 8 по формуле ![]() Сведем расчеты в таблицу 9: Таблица 8– Оценки для двух специальностей
Тогда межгрупповая дисперсия составит ![]() Средняя внутригрупповых дисперсий составит ![]() Дисперсия всего вариационного ряда составит ![]() + 0,01 = 0,69, что приблизительно совпадает с полученным ранее результатом. Незначительное расхождение объясняется погрешностью округления (при расчетах с помощью электронной таблицы совпадение получается точным). |