История математики 4ФиМ ИПР Кулакова Ю.В.. Зарождение математики переменных величин. Декарт, Ферма, Кеплер, Кавальери, Паскаль и другие
 Скачать 284.13 Kb.
|
|
1.3 Создание теории вероятностей Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в эпоху XVII в., когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр. Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hasard, буквально означающего «случай», «риск». Азартными называют те игры (карты, домино и т. п.), в которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности. Первыми вопросы теории вероятностей начали изучать Кардано, Кеплер и Галилей. Один из представителей французской знати того времени, игрок кавалер де Мере написал одному из крупнейших математиков того времени Блезу Паскалю (1623-1662) письмо, в котором просил ответить на ряд вопросов, возникших у него в связи с игрой в кости. Вот один из вопросов: что происходит чаще при четырехразовом бросании кости - невыпадение шестерки или появление ее? (Вероятность появления шестерки равна 671/1296, невыпадения – 652/1296). Рассказывают, что X. Гюйгенсу (1629-1695) был задан такой вопрос: «Если бросить одновременно три игральных кости, то какая сумма очков будет выпадать чаще - 11 или 12?» (P(11)=27/216, P(12)=25/216) Решение порой довольно сложных задач, с которыми обращались заинтересованные лица к Паскалю, Ферма, Гюйгенсу, способствовало разработке основных понятий и общих принципов теории вероятностей, в том числе и правил действия над ними. Отсюда не следует, конечно, заключать, что основоположники теории вероятностей рассматривали азартные игры как единственный или главный предмет разрабатывавшейся ими новой отрасли науки. На развитие теории вероятностей оказали влияние более серьезные потребности науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых странах еще в XVI в. В XVI—XVII вв. учреждение страховых обществ и страхование судов от пожара распространилось во многих европейских странах. Азартные игры были для ученых только удобной моделью для решения задач и анализа понятий теории вероятности. Об этом заметил еще Гюйгенс в своей книге «О расчетах в азартной игре» (1657), которая была первой книгой в мире по теории веро-ятностей. Он писал: «...при внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы теории глубокой и весьма интересной». В трудах Гюйгенса, Паскаля и Ферма содержатся теорема сложения, теорема умножения вероятностей. Гюйгенс первый ввел важное для теории вероятностей понятие математического ожидания, которое получило дальнейшее развитие трудах Даниила Бернулли, Даламбера и др. 1.4 Создание интегрального исчисления На пути к созданию интегрального исчисления. Курс математического анализа обычно строится так: сначала идет дифференциальное исчисление, а за ним следует интегральное. Историческое развитие протекало в обратном порядке. В трудах древних центральное место занимали задачи на вычисление площадей (квадратур), объемов (кубатур), центров тяжести. Для дальнейшего развития этого направления требовалось исчисление определенных интегралов. Оно может развиваться самостоятельно, без помощи или взаимодействия с дифференциальным исчислением или неопределенным интегрированием. Главное внимание математиков 17 в. было направлено на разработку методов вычисления определенных интегралов. Первым, кто сказал здесь новое слово после древних, был Иоганн Кеплер (1571-1630). Он установил, что планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам (первый закон Кеплера). При проверке второго закона (постоянство секториальной скорости каждой планеты) ему приходилось вычислять площади эллиптических секторов; для решения задач этого типа он разработал новый метод, радикально, как казалось его современникам отличающийся от метода геометрического доказательства Архимеда. Воспользовавшись подходящим случаем (проверкой целесообразности формы австрийской винной бочки), Кеплер опубликовал первый, если можно так выразиться, курс определенных интегралов. Почти одновременно с Кеплером начал работать над задачами определенного интегрирования Бонавентура Кавальери (1598-1647). Стремясь примерить между собой идеальную строгость доказательств Евклида с необходимостью заменить фигуру (или тело) некоторой моделью, он привлек идею неделимых и получил существенные результаты: ему удалось вычислить определенный интеграл от целой положительной степени аргумента. Одновременно с ним и независимо от него вычисляли различные определенные интегралы Ферма, Декарт и др. Фрема заметно продвинул технику составления интегральных сумм. Он же совершал предельные переходы. Ферма, Декарт и Джон Валлис (1616-1703) почти одновременно, около 1638 г., обобщили определенный интеграл от xn на случай n дробного и отрицательного. В 1647 г. Григорий из Сен-Винцента опубликовал «Геометрический труд», в котором предложил довольно сложные кубатуры. Жиль Персон, известный под фамилией Роберваль (1602-1675), вычислял определенные интегралы примерно так же, как это делал Кавальери, хотя в трактовке понятия бесконечно малой был ближе к Ферма. Он считал, что, например, бесконечно узкая полоска плоской фигуры имеет два измерения, а не одно, как принимал Кавальери. Роберваль получил объем тела, образованного вращением циклоиды вокруг ее основания. Существенный прогресс в вычислении определенных интегралов связан с именем Блеза Паскаля. Правда, Паскаль не имел обыкновения выражать полученные результаты в виде формул и тем самым не способствовал выработке интегрального исчисления как суммы технических приемов, но его работы по вычислению различных интегралов прояснили связанные с определенным интегралом понятия. Он заменил «совокупности» Кавальери «суммами». Его бесконечно малые очень просты и наглядны по их образованию. Это обычно полоска (в плоской фигуре) или объем (в теле), одно измерение которого взято так, что при дальнейшем разбиении фигуры это измерение неограниченно приближается к нулю. Паскаль установил, что две величины равны, если разность между ними может быть сделана меньше, чем любая наперед заданная величина, как бы она ни была мала. При таком положении вещей вопрос о переходе к пределу возникал сам собой. У древних переход к пределу производился неоднократно (площадь круга и т.п.), но определения предела еще не было. Теперь развитие понятия интегральной суммы непосредственно привело к этому необходимому элементу вычисления. Вполне правильно совершал переход к пределу еще Ферма, но у него процесс перехода не рассматривался как самостоятельный этап вычислений. Переход к пределу в середине 17 в. выполнялся в различных формах – алгебраической и при вычислении определенных интегралов. Отыскание предела в алгебраической задаче имеется у А.Таке (1612-1680). Он получил сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, имея формулу для суммы конечного числа членов и неограниченно увеличивая это число. Переход к пределу при вычислении квадратуры имелся уже у Ферма, а в более совершенной форме он выполнялся Валлисом. К 70-м годам 17 в. вычисление квадратур, кубатур, центров тяжести уже давно перестало быть новостью, как считали в начале века, когда появились первые кубатуры Кеплера. Тем не менее интегрального исчисления не было. Его и не могло быть, так как каждый тип задач вызывал новую интегральную сумму с новым пределом. Отыскание этого предела требовало каждый раз изобретения нового приема. Исчисление могло появиться только после установления взаимной обратности операций интегрирования и дифференцирования, что было установлено позже. |