История математики 4ФиМ ИПР Кулакова Ю.В.. Зарождение математики переменных величин. Декарт, Ферма, Кеплер, Кавальери, Паскаль и другие
![]()
|
Становление математического анализа. Итак, к 80-м годам 17 в. задачи вычисления площадей, объемов, координат центров тяжести и т.д. достигли уже определенного уровня развития. Хотя новых исчислений еще не было, имелись такие результаты, которые в силу своей общности и автоматичности своего получения были составной частью некоего неизвестного еще исчисления. Таков, например, результат ![]() значение, которого тем больше, что он получен независимо несколькими математиками. Не меньшим вниманием пользовались задачи на касательные, на отыскание максимума и минимума. И здесь еще не было исчисления, но были уже методы, вполне устойчивые и общие. В частности, вырисовывалось основополагающее значение выражения задач. f( x e)f( x) e для этой категории Наконец, к указанному времени установлена взаимная зависимость двух важнейших операций: вычисления квадратуры кривой и отыскания касательной, проведенной через данную точку кривой. Осталось объединить все эти результаты и создать цельный алгоритм, обнимающий совокупность входящих в эту область математики вопросов. Решение этой задачи пришлось на последние 15 лет 17 в. и на 18 в. Среди лиц, которым выпало на долю решить эту историческую задачу, на первом месте стоит англичанин Исаак Ньютон. Как все великие люди того времени, он не был специалистом лишь в одной отрасли науки. Математик, механик, оптик и астроном, он оказал глубокое влияние на развитие всех точных наук, которые в его время еще не сформировались и не выделились из одной «пра-науки» - натуральной философии. Обладая чрезвычайно мощным умом, Ньютон в студенческие годы (1661-1665) овладел всем существенным, что было достигнуто к тому времени в математике, т.е., помимо трудов древних и средневековых авторов, также «Геометрией» Декарта, результатами Ферма, достижениями итальянцев (Кавальери, Торричелли) и англичан (Валлис, Барроу) и многих других. В течение вынужденного двухлетнего пребывания в деревне (1665-1667) Ньютон заложил основы высшей математики, физической оптики и небесной механики. Для Ньютона математика не была абстрактным детищем человеческого ума. После некоторых колебаний он пришел к воззрению на геометрический образ (линия, поверхность, объем) как на результат движения точки, линии или поверхности; движение происходит во времени и за сколь угодно малое время точкой проходится сколь угодно малый путь. Вот этот-то малый путь и приводит к малому приращению линии или чего- нибудь другого, а отношение этого малого приращения пути к малому времени, за которое этот малый путь пройден, дает скорость. Чтобы получить мгновенную скорость, надо перейти к пределу, т.е. взять «последнее отношение». Толкование физического содержания описанного процесса у Ньютона мало менялось, но это не мешало выработке формального аппарата. Так получилось, что Ньютон пришел к необходимости находить «последние отношения», т.е., по современной терминологии, искать пределы отношений приращения функции к приращению времени. При желании, разумеется, можно вычислить предел отношения приращения одной функции времени к приращению другой функции, т.е. вычислить производную функции по ее аргументу. Широко и свободно пользуясь теоремой Торричелли-Барроу о взаимности операций дифференцирования и интегрирования и располагая производными многих функций, Ньютон легко нашел квадратуры многих кривых. В тех же случаях, когда интеграл данной функции найти было нельзя, Ньютон разлагал подынтегральную функцию в степенной ряд и почленно его интегрировал. Искусство разложения функции в ряд само есть детище Ньютона. Для выполнения разложения Ньютон пользовался разными приемами, из которых на первое место следует поставить использование формулы бинома, но применялось и деление типа1 |