История математики 4ФиМ ИПР Кулакова Ю.В.. Зарождение математики переменных величин. Декарт, Ферма, Кеплер, Кавальери, Паскаль и другие
 Скачать 284.13 Kb.
|
|
На пути к созданию дифференциального исчисления. Понятие о производной тесно связано с задачей о проведении касательной к кривой и с тем кругом задач, которые объединяются под общим названием анализа функций. Построением касательных занимались еще древние. Что касается анализа, то было известно, что в «Конических сечениях» Аполлония рассматривались максимумы и минимумы, но содержание книги Аполлония стало доступным европейским математикам лишь в 1661 г. Однако все возрастающий интерес к творениям древних и быстро развивающаяся «новая» математика побуждали заняться и этими задачами, которым уделяла внимание классическая математика. Естественно, что такой исключительно разносторонний математик, как Ферма, не мог пройти мимо касательных. В письмах к Робервалю он сообщал, что еще в 1629 г. им разработан способ отыскания экстремумов. Поскольку способ Ферма сводил задачу непосредственно к задаче отыскания производной, он обладает очень большой общностью (надо подчеркнуть, что речь идет о необходимом условии наличия экстремума, вопрос о достаточном условии затронут лишь поверхностно). Можно с полным правом сказать, что способ Ферма, с необходимыми улучшениями, целиком вошел в позднейший анализ. Декарт тоже решил несколько задач на отыскание экстремумов. Задача о проведении касательной служила предметом горячей полемики между Ферма и Декартом. В то время как способ Ферма приводил к отысканию производной и, значит, был достаточно общим, способы Декарта были большей частью специальными и основывались на том или ином свойстве кривой. Например, разыскивая касательную к циклоиде, Декарт использует открытое им свойство нормали к этой кривой. В некоторых случаях Декарт пользовался кинематическими свойствами кривых. Кинематические свойства применяли также Роберваль и Торричелли. Большой вклад в построение анализа внес Христиан Гюйгенс (1629-1695). Он исследовал функции на максимум и минимум, исходя из соображений Ферма. Сущность рассуждений Гюйгенса не отличается от рассуждений Ферма, но Ферма считал, что приращение аргумента есть величина постоянная, а Гюйгенс называл ее величиной бесконечно малой. Кроме того, Гюйгенс выработал некоторые простейшие приемы, позволяющие обходить некоторые простейшие приемы, позволяющие иногда обходить вычисления, которые Ферма в каждой задаче выполнял от начала до конца. Этими приемами Гюйгенс предвосхитил некоторые правила дифференцирования, предложенные Лейбницем (например, дифференцирование произведения двух функций). Эванджелиста Торричелли (1608-1647) умел находить касательные к кривым и прежде всего к параболам, исходя из свойств движения тяжелой точки, движущейся по параболе. Он сначала доказывает, что касательная направлена по диагонали параллелограмма скоростей, а потом, пользуясь свойствами конического сечения, находит направление касательной. Этот кинематический способ проведения касательных подробно развил Роберваль. Решающее значение для будущего исчисления сыграли работы Паскаля, в частности его «характеристический треугольник», как его впоследствии назвал Лейбниц, или «дифференциальный треугольник».Так называется прямоугольный треугольник, который дает выражение для дифференциала дуги ds2 dx2 dy2 . В сущности, он встречается уже у Ферма, но у него особое обозначение имеет только приращение аргумента dx, в то время как Исаак Барроу (1630-1677) вводит обозначение и для приращения функции dy . Барроу много работал и в области квадратур. Он вычислил несколько трудных интегралов с помощью дифференциальных соотношений, например, использовал для упрощения интегралов формулу d sincosd. Он занимался разысканием касательных (посредством определения длины подкасательной), решал и обратные задачи о касательных. Так назывались задачи, в которых надо было найти ту кривую, которая обладает касательной с заданными свойствами. Ясно, что решение подобных задач приводится к квадратуре (точнее говоря, к дифференциальному уравнению первого порядка). Оглядывая пройденный путь, можно сказать, что задачи на касательные и на анализ функций достигли известного развития. Удалось уже вникнуть до некоторой степени и в процесс предельного перехода. Существенное значение для дальнейшего движения вперед имело и прочное усвоение методов аналитической геометрии, что неизмеримо увеличило наглядность всех инфинитезимальных операций. При взгляде на чертеж кривой невольно возникала мысль о второй кривой на том же чертеже, кривой, изображающей площадь, ограниченную первой. Рассмотрение же этих двух кривых совместно, вполне естественно, рождало вопрос об их взаимной обусловленности. Вторая кривая получается в результате квадратуры первой. Нельзя ли первую также получить из второй при помощи какой-то операции? О том, что эти соображения уже, как говорится, носились в воздухе, свидетельствует хотя бы тот факт, что задачу о взаимном отношении этих кривых поставили перед собой и решили одновременно и независимо друг от друга Торричелли, Грегори и Барроу. Исследования Торричелли и Грегори обнаружены в рукописях. Прямое влияние на дальнеее развитие анализ имело решение Барроу, потому что Барроу передал свои результаты Ньютону. После работы Барроу почва для построения нового исчисления была готова, и эпоха предшественников закончилась. |