Идз по теории чисел

• Название: Идз по теории чисел
• Дата: 12.11.2022
• Размер: 306.01 Kb.
• Имя файла: IDZ_NT.pdf
• Тип: Документы; #784305
• страница: 1 из 6

ИДЗ
по теории чисел
1

Содержание
1
Вариант для А.А.А.
4 2
Вариант для Б.Н.А.
9 3
Вариант для Б.Е.С.
13 4
Вариант для В.А.А.
18 5
Вариант для Г.Д.А.
22 6
Вариант для Г.О.Е.
26 7
Вариант для И.А.К.
30 8
Вариант для И.Е.В.
34 9
Вариант для К.А.М.
38 10 Вариант для К.К.С.
42 11 Вариант для К.Т.И.
46 12 Вариант для К.А.С.
50 13 Вариант для М.А.И.
54 14 Вариант для М.Е.С.
58 15 Вариант для М.А.С.
62 16 Вариант для М.И.В.
66 17 Вариант для Н.А.А.
71 18 Вариант для Н.А.А.
75 19 Вариант для Н.К.Р.
79 20 Вариант для О.М.Т.
84 2

21 Вариант для П.А.В.
88 22 Вариант для П.В.А.
93 23 Вариант для Р.А.Б.
97 24 Вариант для С.Т.Г.
102 25 Вариант для С.Ю.В.
106 26 Вариант для С.А.О.
110 27 Вариант для Ф.А.А.
115 3

1
Вариант для А.А.А.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 2131, b = 164.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −1556, b = 296.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 95, q = 58.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 194, r = 66.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 477, r = 39.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 8852, q = 47.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 764, b = 112.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 240, d = 6.
4

9. Найти НОК чисел a и b a = 816, b = 284.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 565, b = 145, c = 1420.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 330, b = 209, c = 2211.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 50, n = 272.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 4402282500000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 5880.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 16, σ = 6000.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 27!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 9.
5

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= 99.
a
2
= 51.
a
3
= −20.
a
4
= 75.
a
5
= −11.
a
6
= 152.
a
7
= −10.
a
8
= −59.
a
9
= −82.
a
10
= 49.
a
11
= −60.
a
12
= −8.
a
13
= 98.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 16.
a
1
= −25.
a
2
= −111.
a
3
= 133.
a
4
= 169.
a
5
= −113.
a
6
= −35.
a
7
= 59.
6

20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 4445.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 78608, p = 17.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 1336336.
23. Найти остаток от деления числа 434 338
на 37.
24. Найти остаток от деления числа 336 447
на 57.
25. Найти три последние цифры числа 607 216 26. Найти три последние цифры числа 556 469 27. Найти частное q
4
разложении дроби
261 296
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
5
разложении дроби
402 107
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
4
разложении дроби
235 450
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [1, 1, 1, 5, 3, 4].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
384 828 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
91x ≡ 75(mod 58).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
88x ≡ 308(mod 52).
7

34. Решить сравнение
178x ≡ 121(mod 17).
35. Решить сравнение
194x ≡ 191(mod 47).
36. Решить сравнение
80x ≡ 195(mod 85).
37. Решить сравнение
40x ≡ 276(mod 124).
8

2
Вариант для Б.Н.А.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 1644, b = 212.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −2890, b = 100.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 84, q = 71.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 296, r = 36.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 590, r = 75.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 3776, q = 146.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 762, b = 168.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 144, d = 6.
9

9. Найти НОК чисел a и b a = 669, b = 240.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 927, b = 291, c = 66.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 392, b = 276, c = 516.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 12, n = 228.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 73500.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 1029000.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 12, σ = 2800.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 20!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 25.
10

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −48.
a
2
= 44.
a
3
= 53.
a
4
= 16.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 22.
a
1
= 173.
a
2
= −151.
a
3
= 57.
a
4
= 71.
a
5
= −177.
a
6
= −139.
a
7
= −175.
a
8
= 117.
a
9
= −145.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 3615.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 705894, p = 7.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 2058.
11

23. Найти остаток от деления числа 566 448
на 39.
24. Найти остаток от деления числа 588 267
на 57.
25. Найти три последние цифры числа 547 405 26. Найти три последние цифры числа 360 392 27. Найти частное q
7
разложении дроби
340 191
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
6
разложении дроби
397 239
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
4
разложении дроби
254 343
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [0, 1, 1, 1, 46, 2].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
495 1260 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
94x ≡ 89(mod 15).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
68x ≡ 348(mod 20).
34. Решить сравнение
89x ≡ 194(mod 53).
35. Решить сравнение
79x ≡ 32(mod 63).
36. Решить сравнение
85x ≡ 440(mod 75).
37. Решить сравнение
44x ≡ 188(mod 56).
12

3
Вариант для Б.Е.С.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 1189, b = 167.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −1649, b = 225.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 64, q = 93.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 295, r = 93.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 599, r = 67.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 301, q = 130.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 395, b = 280.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 792, d = 22.
13

9. Найти НОК чисел a и b a = 837, b = 174.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 360, b = 213, c = 69.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 315, b = 260, c = 905.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 21, n = 152.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 62889750000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 1029000.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 16, σ = 6240.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 15!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 25.
14

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −90.
a
2
= 79.
a
3
= −78.
a
4
= 70.
a
5
= 107.
a
6
= 156.
a
7
= 106.
a
8
= 108.
a
9
= −82.
a
10
= −113.
a
11
= 65.
a
12
= 146.
a
13
= 129.
a
14
= 28.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 14.
a
1
= −45.
a
2
= 131.
a
3
= −83.
a
4
= −113.
a
5
= −117.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 3524.
15

21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 1336336, p = 17.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 1210.
23. Найти остаток от деления числа 319 320
на 42.
24. Найти остаток от деления числа 642 329
на 20.
25. Найти три последние цифры числа 667 448 26. Найти три последние цифры числа 485 438 27. Найти частное q
4
разложении дроби
120 406
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
5
разложении дроби
403 371
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
4
разложении дроби
164 139
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [1, 7, 2, 3, 1, 2, 2].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
1824 1634 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
38x ≡ 97(mod 79).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
65x ≡ 445(mod 20).
34. Решить сравнение
137x ≡ 152(mod 56).
16

35. Решить сравнение
159x ≡ 161(mod 59).
36. Решить сравнение
95x ≡ 485(mod 65).
37. Решить сравнение
78x ≡ 222(mod 108).
17

4
Вариант для В.А.А.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 2148, b = 123.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −2663, b = 130.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 88, q = 35.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 279, r = 88.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 597, r = 63.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 8150, q = 127.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 745, b = 220.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 588, d = 14.
18

9. Найти НОК чисел a и b a = 531, b = 300.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 963, b = 258, c = 1032.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 360, b = 219, c = 786.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 24, n = 273.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 21175000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 52920.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 9, σ = 399.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 26!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 4.
19

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −42.
a
2
= 64.
a
3
= −7.
a
4
= −23.
a
5
= −72.
a
6
= −64.
a
7
= −65.
a
8
= 23.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 18.
a
1
= 169.
a
2
= −79.
a
3
= −95.
a
4
= 95.
a
5
= 73.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 1922.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 26364, p = 13.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 14406.
20

23. Найти остаток от деления числа 349 349
на 27.
24. Найти остаток от деления числа 603 291
на 57.
25. Найти три последние цифры числа 303 292 26. Найти три последние цифры числа 445 285 27. Найти частное q
5
разложении дроби
184 238
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
5
разложении дроби
183 483
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
5
разложении дроби
273 332
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [2, 7, 4, 1, 1, 2].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
1100 720 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
82x ≡ 36(mod 21).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
84x ≡ 402(mod 54).
34. Решить сравнение
106x ≡ 75(mod 51).
35. Решить сравнение
132x ≡ 175(mod 47).
36. Решить сравнение
49x ≡ 448(mod 63).
37. Решить сравнение
50x ≡ 160(mod 105).
21

5
Вариант для Г.Д.А.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 1522, b = 221.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −1360, b = 146.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 111, q = 38.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 118, r = 52.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 593, r = 67.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 4522, q = 138.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 416, b = 228.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 1512, d = 28.
22

9. Найти НОК чисел a и b a = 740, b = 116.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 552, b = 201, c = 366.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 392, b = 164, c = 996.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 24, n = 155.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 3150000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 1890.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 16, σ = 16000.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 15!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 10.
23

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −56.
a
2
= 47.
a
3
= 104.
a
4
= 119.
a
5
= −3.
a
6
= 12.
a
7
= 83.
a
8
= −55.
a
9
= 59.
a
10
= −64.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 15.
a
1
= −14.
a
2
= −11.
a
3
= −4.
a
4
= −77.
a
5
= 29.
a
6
= 62.
a
7
= 127.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 1035.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 100842, p = 7.
24

22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 386201104.
23. Найти остаток от деления числа 627 374
на 20.
24. Найти остаток от деления числа 494 261
на 30.
25. Найти три последние цифры числа 339 348 26. Найти три последние цифры числа 406 413 27. Найти частное q
6
разложении дроби
449 483
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
7
разложении дроби
353 452
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
6
разложении дроби
260 482
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [0, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
1332 972 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
58x ≡ 60(mod 41).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
40x ≡ 185(mod 55).
34. Решить сравнение
146x ≡ 199(mod 65).
35. Решить сравнение
31x ≡ 199(mod 33).
36. Решить сравнение
80x ≡ 305(mod 65).
37. Решить сравнение
35x ≡ 567(mod 56).
25

6
Вариант для Г.О.Е.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 2331, b = 200.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −2885, b = 249.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 55, q = 34.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 106, r = 57.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 345, r = 43.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 1442, q = 98.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 603, b = 138.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 720, d = 24.
26

9. Найти НОК чисел a и b a = 728, b = 256.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 968, b = 212, c = 724.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 387, b = 282, c = 795.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 35, n = 199.