Высшая математика Питерцева. высшая математика питерцева. Курс лекций для дистанционного обучения студентов гуманитарных специальностей москва 2012 Авторы составители
 Скачать 2.77 Mb.
|
|
Московский университет имени С. Ю. Витте КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Мелкумян Б. В., Питерцева Г. А. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Курс лекций для дистанционного обучения студентов гуманитарных специальностей МОСКВА 2012 Авторы – составители: Мелкумян Б. В., Питерцева Г. А. Высшая математика: Курс лекций. – М.: Московский университет им. С. Ю. Витте, 2012, _516_ стр. Научный редактор: Курс лекций предназначен для студентов дистанционной формы обучения гуманитарных специальностей. Печатается по решению научно-методического совета Московского университета им. С. Ю. Витте. © Б. В. Мелкумян, Г. А. Питерцева, 2012 © Московский университет им. С. Ю. Витте, 2012 ОГЛАВЛЕНИЕ Об авторах-составителях 7 От авторов-составителей 7 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ 7 Что самое трудное в математике? 8 Нужны ли способности? 8 Что такое абстракция? 8 Не затрудняет ли абстракция изучение математики? 8 Цели и ожидаемые результаты курса 9 Связь с другими дисциплинами 9 План изучения курса 10 Понятие комплексного числа 10 График прохождения контрольных мероприятий: 11 ЛИТЕРАТУРА 11 Основной список 11 Дополнительный список 12 1. Алгебра высказываний 12 1.1. Аксиоматический метод и его понятийный аппарат 12 Определение. 12 Аксиома. Аксиоматический метод. 12 Доказательство. Теорема. 12 Особенность аксиоматического метода. 13 Основные методы доказательств. 13 Упражнения для самостоятельного анализа к Разделу 1: 14 Упражнение 1. 14 Упражнение 2. 14 Упражнение 3. 14 Упражнение 4. 14 Упражнение 5. 15 1.2. Алгебра высказываний. Основные законы математической логики. 15 Что есть высказывание. 15 Простые и составные высказывания. 15 Логические операции 16 Порядок старшинства операций 19 5. Основные законы математической логики. 20 6. Парадоксы логики (семантические парадоксы), или «правдоподобные» рассуждения, приводящие к противоречивым результатам. 21 7. Основная цель математической логики – обеспечить систему формальных обозначений для рассуждений, встречающихся не только в математике, но и в повседневной жизни. 21 Задачи для самостоятельного решения 22 1.3. Числа 23 2. Матрицы. Действия с матрицами 24 1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу). 25 3) Действие третье. Транспонирование матрицы 27 4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц. 28 5) Действие пятое. Умножение матриц. 29 6) Действие шестое. Нахождение обратной матрицы. 31 2.1. Вычисление определителей 31 2.2. Вычисление обратной матрицы 36 2.3. Решение системы линейных уравнений 42 Решение системы линейных уравнений методом подстановки 43 Пример 1 43 Пример 2 44 Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными 45 Пример 3 46 Решить систему линейных уравнений с 4 неизвестными 46 Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы 47 Пример 4 47 Пример 5 47 Пример 6 49 Продолжение урока на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы >>> 49 Решение системы по правилу Крамера 49 Рассмотрим систему уравнений 50 Пример 7 50 Ответ: , 51 Решение системы с помощью обратной матрицы 54 Пример 11 54 Пример 12 57 Ответы: 57 Пример 3: 57 Полное решение примеров 8, 10, 12 >>> 57 Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных) 58 Существуют следующие элементарные преобразования: 59 Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений 60 Пример 1 61 Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче. 62 В третьем уравнении у нас уже готовый результат: 64 Пример 2 65 Пример 3 65 Пример 4 66 Пример 5 67 Решения и ответы: 68 Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения 70 Пример 1 70 Пример 2 71 Пример 3 72 Пример 4 76 Пример 5 76 Пример 6 79 Решения и ответы: 79 Ответ:Общее решение: 82 3. Комплексные числа 82 Не занимайтесь комплексными числами после комплексного обеда 82 Понятие комплексного числа 83 Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел 86 Сложение комплексных чисел 86 Пример 1 86 Сложить два комплексных числа , 86 Вычитание комплексных чисел 86 Пример 2 86 Умножение комплексных чисел 87 Пример 3 87 Найти произведение комплексных чисел , 87 Деление комплексных чисел 87 Пример 4 87 Пример 5 88 Пример 6 88 Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа 89 Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или 89 Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или 90 Пример 7 90 Таким образом, запись принимает вид: 92 Пример 8 92 Число – так: 95 Возведение комплексных чисел в степень 95 Пример 9 95 Возвести в квадрат комплексное число 95 Пример 10 95 Пример 11 96 Пример 12 96 Возвести в степень комплексные числа , , 96 Пример 13 97 Возвести в степень комплексные числа , 97 Извлечение корней из комплексных чисел 97 Пример 14 97 Решить квадратное уравнение 97 Пример 15 98 Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? 98 Пример 16 98 Найти корни уравнения 98 Пример 17 99 Найти корни уравнения , где 99 По такому же алгоритму строится точка 101 Решения и ответы: 102 4. Математические формулы и графики 103 Для того чтобы успешно решать задачи по высшей математике НЕОБХОДИМО: 103 Математические формулы и таблицы 106 Горячие формулы школьного курса математики 106 Калькулятор для автоматических расчетов 107 Тригонометрические формулы 107 Тригонометрические таблицы 107 Графики и свойства элементарных функций 107 Графики и основные свойства элементарных функций 107 Как правильно построить координатные оси? 108 Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей. 108 Трехмерный случай 109 Графики и основные свойства элементарных функций 110 График линейной функции 110 Пример 1 110 График квадратичной, кубической функции, график многочлена 113 Пример 2 114 Таким образом, вершина находится в точке 114 Если , то ветви параболы направлены вверх. 115 Если , то ветви параболы направлены вниз. 115 Кубическая парабола 115 График функции 118 График гиперболы 120 График функции вида () представляют собой две ветви гиперболы. 121 Пример 3 121 Построить правую ветвь гиперболы 121 График показательной функции 122 График логарифмической функции 124 Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма: . 124 Графики тригонометрических функций 125 Построим график функции 125 График косинуса 126 Построим график функции 126 В отличие от синуса в косинусе минус «бесследно пропадает». 126 Графики тангенса и котангенса 127 Построим график функции 127 Графики обратных тригонометрических функций 129 Построим график арксинуса 129 Построим график арккосинуса 129 Арктангенс – функция нечетная: . 131 Об авторах-составителях Мелкумян Баграт Владимирович – кандидат физико-математических наук, доцент. Читает лекции и проводит семинарские занятия в Московском университете им. С. Ю. Витте по различным разделам дисциплины «Математика» на факультетах экономики и финансов, управления и юридическом. Преподает дисциплины «Базы данных», «Проектирование информационных систем», «Разработка и стандартизация программных средств и информационных технологий» и «Физика» на факультете управления для специальности «Прикладная информатика в экономике» различных форм обучения. Область научных интересов связана с разработкой лазерных устройств и использованием методов математической физики в системах управления. Питерцева Галина Александровна – кандидат технических наук, доцент, почетный профессор Московского университета им. С. Ю. Витте. Область научных интересов связана с использованием математических методов в экономике РФ. В 2006 году была награждена знаком «Отличник высшего и профессионального образования». Читает лекции и проводит семинарские занятия по дисциплине «Математика» на факультетах экономики и финансов, управления, подготовительных курсах. Является автором курсов лекций и комплекса учебно-методических материалов по Математике для студентов и абитуриентов. Является разработчиком банков тестовых заданий по Математике для центра тестирования и для вступительных экзаменов. От авторов-составителей Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы. Точность математики означает, что основным методом в математических исследованиях являются строгие логические рассуждения. В древности областями применения математики были: землемерие, счет, торговля, архитектура и астрономия. В XVII-XVIII вв. появилась «Высшая математика» с направлениями аналитической геометрии, векторной и матричной алгебры, дифференциального исчисления, интегрального исчисления, дифференциальных уравнений, и т. д. В XIX-ХХ вв. на основе математики развиваются новые дисциплины: теория информации, теория оптимального управления и математическое программирование. В XX-XXI вв., благодаря быстродействующим вычислительным машинам, в использовании математических методов произошел качественный скачок. Математическое мышление неудержимо проникает в практику экономических и гуманитарных наук, и следует быть к этому готовым. Эти лекции предназначены для слушателей гуманитарных специальностей, изучающих курс математики в соответствии с учебными программами Московского университета им. С. Ю. Витте. Лекции курса дополняются примерами решения задач и контрольными упражнениями, которые облегчают понимание, показывают пользу теории, а также ликвидируют общеизвестную боязнь перед математикой. |