задание для работы. Кон-т_TOE_ВО_compr. Лекция 11 постоянный ток
 Скачать 257.88 Kb.
|
СОДЕРЖАНИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ Лекция №11 ПОСТОЯННЫЙ ток §1.1. Законы Кирхгофа Рассмотрим простую электрическую цепь с одной ЭДС и несколькими сопротивлениями, соединёнными параллельно. Будем считать, что величины ЭДС и сопротивлений нам известны. Все элементы цепи со- сдинсны параллельно, поэтому напряжение на каждом элементе одинаково и равно Е, но токи разные они обратно пропорциональны величинам сопротивлений соответствующих ветвей и определяются по закону Ома: Результирующий ток /, протекающий в ветви с ЭДС, будет равен сумме токов всех ветвей без ЭДС, то есть I — Iy+I2+I3 + 1п. (2) Если подставить выражение (I) в (2), то можно получить: ] = 2 3 4& (3) Коэффициент пропорциональности между током и ЭДС называется проводимостью и измеряется в сименсах [См]. Итак, мы получили важную формулу, позволяющую определить результирующее эквивалентное сопротивление схемы с параллельным соединением проводников: 1 1 1 11 п 1 /лч -£1 + g3 + + 8п— + — + — + + Т-Т‘ "*■ Лэ-—(4) /?] Т?2 Rn Ъ g3   В частном случае, когда в цепи два сопротивления, выражение (4) можно переписать:    1 1 /?2 Аэ 1 r}r2 3 g, Я]+Я2 (5) Это выражение следует запомнить, потому что в электротехнике часто приходится преобразовывать цепь с двумя параллельно включенными сопротивлениями. Отметим полезную информацию, которая содержится в выражении (4). Если вы правильно подсчитали результирующее (эквивалентное) сопротивление схемы параллельно соединённых проводников, то величина результирующего сопротивления должна быть меньше величины самого маленького сопротивления цепи. Теперь вернёмся к выражению (2). Это выражение называется первым законом Кирхгофа, и формулируется следующим образом: Алгебраическая сумма токов в узле равняется нулю. Алгебраическая сумма означает, что следует учитывать знаки, например если входящие в узел fj токи берутся со знаком плюс, то выходящие ! должны быть взяты со знаком минус. Или наобо рот. Запишем первый закон Кирхгофа для узла, Л h приведённого на рисунке 1.3: Рис. 1.3 “ Лз + Л “ Л = 0 • (6) Рассмотрим простейшую цепь с последовательным соединением проводников, приведённую на рисунке 1.4. В представленной схеме известны все сопротивления и ЭДС. Через все сопротивления проходит один и тот же ток. Результирующее или суммарное сопротивление схемы равняется сумме всех сопротивлений: 7?э — /?| + 4" Ry 4-.... 4- Rn (7) По закону Ома, ЭДС в результирующей цепи равняется произведению силы тока на результирующее сопротивление. Проделав несложные преобразования можно получить: E-R3-1-(R} +R2+Ry 4-.... + /?n)Z = (/1 + (72 4-(/3 + 4-(/w (8) где (7, - I • Л], U2 -I R2, и т.д. В результате мы получили второй закон Кирхгофа, который формулируется следующим образом: алгебраическая сумма напряжений для любого замкнутого контура равняется алгебраической сумме ЗДС контура: сункс 1.5, преобразование схемы производят в следующем порядке. Сначала преобразуют сопротивления, соединённые параллельно (Ry и/?4), а затем производят преобразования для сопротивлений, соединённых последовательно, то сеть: Ry+R4 R3+R4 Эго правило иногда называют ’’правилом разброса”, так как общий ток ветвей 3 и 4 разбрасывается по ветвям с коэффициентами пропорциональности R4/(Ry 4-Л4) и Ry/(Ry 4-7?4). § 1.2. Примеры использования законов Кирхгофа (методы расчетов) Для определения токов в электрической схеме использовать пра последовательно соединённых сопротивлений можно нс всегда. Например, для цепи представленной на рис. 1.6, это мешают сделать ЭДС Е} ,Е2 и Е3. В таких случаях для определения токов используют первый и второй законы Кирхгофа. Число уравнений, необходимых для определения токов, равно числу ветвей. Число независимых уравнений, которых можно записать по первому закону Кирхгофа, равно Y-1, где Y число узлов в схеме. Остальные недостающие уравнения, которые нужны для завершения системы, записывают по второму закону Кирхгофа. Рассмотрим в качестве примера схему, представленную на рисунке 1.6, предполагая, что все сопротивления и ЭДС нам известны. Схема имеет три ветви, следовательно, необходимо записать три уравнения. Записываем одно уравнение по первому закону Кирхгофа. Например, для второго узла:  (13) ZI-Z2-Z3=O. Два недостающих уравнения записываем по второму закону Кирхгофа для первого и второго контуров соответственно: I\R\ + I^R-) — Ei + Е-) 2 “ . (14) —Z2/?2 + 3^3 ^3 Запишем уравнения (13) и (14) в виде системы уравнений, предварительно правильно сгруппировав коэффициенты при неизвестных, в результате получаем формальное решение: (15) Рассмотрим пример с числовыми данными. Пример 1: Дана схема с тремя ЭДС и шестью сопротивлениями. Определить все токи в схеме (рис. 1.7), если: Л, = 10 Ом, Т?2 = 12 Ом, = 15 Ом, Л4 = 20 Ом, = 10 Ом,Л6 = 8 Ом, £j=50B, £2=30 В, £3=15В. Схема имеет шесть ветвей, следовательно, необходимо составить шесть уравнений. Три уравнения (Y-l=3) по первому закону Кирхгофа (1-ЗК) и три уравнения по второму закону Кирхгофа (2- ЗК). Для узлов 1, 2 и 3 соотвстст- fZl-Z3-Z4=0; Z4 + Z5-Z6=0; (16) /2 + А + /6 - 0. Для контуров I, II и 111 используем 2-ЗК: /17?1 + — I5R5 Е\ ’ * ААз “4^4 — 6^6 = ( 1 ?) “А^А + А^А + А>А> А* Перепишем в матричном виде и подставим числовые значения. В результате получаем:
  1=А' в= л Л Л л Ц) ' 2,329-2,075 1,121 1,209 -0,254 ч 0,955 , § 1.3. Матрично-топологический метод Когда ветвей и узлов в схеме много, решение методом Кирхгофа становится утомительным, потому что приходится составлять алгебраические уравнения высокого порядка. Поэтому в электротехнике существуют методы, позволяющие понизить порядок системы линейных алгебраических уравнений. Такие методы называются матрично- топологическими. Топологические методы особенно удобны для использования компьютерных вычислений. Рассмотрим использование матрично топологического метода для схемы, приведённой на рисунке 1.8 а. Прежде всего, рисуют ненаправленный (неориентированный) топологический граф схемы. Рисуются ветви схемы без элементов. Причем, рисуются только тс ветви схемы, элементы которых имеют конечное сопротивление. Например, для рис. 1.8,6 приведен граф схемы, представленной на Рис. 1.8 а, на котором видно восемь ветвей и четыре узла. Затем задают направления токов, и граф становится направленным (ориентированным). Следующим этапом составляют узловую матрицу, задавшись базовым узлом. Базовый узел это узел, потенциал которого равен некой постоянной величине, в частности нулю. Пусть, например, четвертый узел будв! базовым узлом. Тогда сформируем узловую матрицу А по следующему правилу: если ток ветви подтекает к узлу, то ставим -1, если ток ветви оттекает от узла, то ставим 1, если ветвь не имеет связи с узлом, то ставим 0. Для схемы, изображённой на Рис. 1.9, узловая топологическая матрица 3 будет следующей: Ветви |