числовые ряды. Методические указания для решения задач. Учебное пособие снабжено вопросами для самопроверки и вариантами заданий для самостоятельного решения

• Название: Методические указания для решения задач. Учебное пособие снабжено вопросами для самопроверки и вариантами заданий для самостоятельного решения
• Дата: 26.10.2022
• Размер: 361.53 Kb.
• Имя файла: числовые ряды.pdf
• Тип: Методические указания; #756523
• страница: 1 из 6

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова
ЧИСЛОВЫЕРЯДЫ
Волгоград
2004

МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯРОССИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ
ВОЛГОГРАДСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ВОЛЖСКИЙПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙИНСТИТУТ
(ФИЛИАЛ)
Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н.Короткова
ЧИСЛОВЫЕРЯДЫ
Учебноепособие
РПК “Политехник”
Волгоград
2004

УДК 53
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук ЛосеваН.В.
канд. физ.-мат. наук МеркуловаН.И.
Т.А. Матвеева, Светличная В.Б., Н.Н. Короткова.
Числовые ряды. Учеб. пособие / ВолгГТУ. – Волгоград, 2004. – 45 с.
ISBN 5 – 230 –
Рассматриваются вопросы, касающиеся решения задач по числовым рядам.
Приводятся основные теоретические положения и методические указания для решения задач.
Учебное пособие снабжено вопросами для самопроверки и вариантами заданий для самостоятельного решения.
Рассчитано на студентов дневной и вечерней форм обучения высших технических заведений.
Табл. 1 Библиогр.: 5 названий
Печатается по решению редакционно – издательского совета Волгоградского государственного технического университета
ISBN 5 – 230 –
 Волгоградский государственный технический университет, 2004

ВВЕДЕНИЕ
Настоящее пособие посвящено числовым рядам. Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразное практическое применение.
Правила действий над рядами не всегда совпадают с правилами действий над конечными суммами. В частности, в конечных суммах можно произвольно менять порядок слагаемых, как угодно группировать члены, сумма от этого не изменится.
Слагаемые конечной суммы можно складывать в обратном порядке, для ряда такой возможности нет, ибо у него не существует последнего члена.
Основные разделы пособия:
1.
Основные понятия числового ряда.
2.
Признаки сходимости знакоположительных рядов.
3.
Сходимость знакопеременных рядов.
4.
Сходимость рядов с комплексными членами.
Пособие включает в себя задачи по теории рядов с подробными решениями.
В каждом разделе даны основные теоретические положения и краткие пояснения решения типовых задач.
Вопросы для самопроверки даны с целью помочь студенту в повторении, закреплении и проверке прочности усвоения изученного материала.
Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи. В конце пособия предложены контрольные задания для самостоятельного решения. При решении задач студент должен дать пояснения со ссылками на используемые теоремы, свойства, признаки и т.д.

1.
ОСНОВНЫЕПОНЯТИЯЧИСЛОВОГОРЯДА
Если
{ }
+∞
=
1
n
n
a
– числовая последовательность, то сумма
2 1
1
+
+
+
+
=
∑
∞
=
n
n
n
a
a
a
a
(1.1) называется числовым рядом. Числа
,
,
2 1
a
a
называются членами ряда, а число
n
a
– общим членом ряда.
Сумма первых
n
членов ряда
∑
=
=
+
+
+
=
n
k
k
n
n
a
a
a
a
S
1 2
1
(1.2) называется его частичной суммой.
Если последовательность
{ }
+∞
=
1
n
n
S
частичных сумм ряда (1.1) имеет конечный предел
S
,
S
S
n
n
=
+∞
→
lim
, то ряд (1.1) называется сходящимся, а число
S
– его суммой; в противном случае, т.е. когда этот предел не существует или равен бесконечности, ряд (1.1) называется расходящимся.
Ряд
3 2
1
+
+
+
+
+
+
n
n
n
a
a
a
, полученный из ряда (1.1) отбрасыванием
n
первых его членов, называется остатком ряда (1.1).
Свойстварядов
Свойство 1. Если ряд (1.1) сходится и его сумма равна
1
S
, то ряд
2 1
1
+
+
+
+
=
∑
∞
=
n
n
n
a
k
a
k
a
k
a
k
, где
k
– произвольное число, также сходится и его сумма равна
1
S
k
. Если же ряд (1.1) расходится и
0
≠
k
, то ряд
∑
∞
=
1
n
n
a
k
расходится.
Свойство 2. Если ряды
∑
∞
=
1
n
n
a
и
∑
∞
=
1
n
n
b
сходятся и их суммы равны
1
S
и
2
S
соответственно, то сходятся и ряды
∑
∞
=
±
1
)
(
n
n
n
b
a
, причем сумма каждого равна соответственно
2 1
S
S
±
Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.
Свойство 3. Если к ряду (1.1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1.1) сходятся или расходятся одновременно.
Необходимый признак сходимости числового ряда
(1.1)
(но недостаточный) состоит в следующем: есличисловойряд(1.1)сходится, то
0
lim
=
+∞
→
n
n
a
. (1.3)
Из этого признака следует достаточныйпризнакрасходимостиряда (1.1):
если
0
lim
≠
+∞
→
n
n
a
, торяд
∑
∞
=
1
n
n
a
– расходится.
Основная задача теории числовых рядов – установление сходимости или расходимости – иногда может быть решена непосредственным нахождением суммы ряда, т.е. вычислением предела частичных сумм:
n
n
S
+∞
→
lim
Пример 1.1. Используя определение (вычислением
n
n
S
+∞
→
lim
), исследовать на сходимость ряд
∑
∞
=
−
+
1 2
5 12 9
1
k
k
k
Решение. Для преобразования частичных сумм используем разложение дроби на простейшие:
5 3
1 3
5 12 9
1 2
+
+
−
=
−
+
k
B
k
A
k
k
Методом неопределенных коэффициентов нашли значения:
6 1
=
A
и
6 1
−
=
B
Следовательно, общий член ряда запишется в виде:






+
−
−
=
−
+
5 3
1 1
3 1
6 1
5 12 9
1 2
k
k
k
k
Тогда частичную сумму можно представить следующим образом:
∑
∑
=
=
=






+
−
−
=
−
+
=
n
k
n
k
n
k
k
k
k
S
1 1
2 5
3 1
1 3
1 6
1 5
12 9
1



+






−
+






−
+






−
+






−
=
17 1
11 1
14 1
8 1
11 1
5 1
8 1
2 1
6 1
=









+
−
−
+






+
−
−
+
5 3
1 1
3 1
2 3
1 4
3 1
n
n
n
n




+
−
+
−
=




+
−
+
−
+
=
5 3
1 2
3 1
10 7
6 1
5 3
1 2
3 1
5 1
2 1
6 1
n
n
n
n

Таким образом, получаем
60 7
10 7
6 1
5 3
1 2
3 1
10 7
lim
6 1
lim
=
⋅
=






+
−
+
−
=
+∞
→
+∞
→
n
n
S
n
n
n
Так как сумма ряда существует и равна конечному значению, то искомый ряд сходится. ■
Пример 1.2. Используя определение (вычислением
n
n
S
+∞
→
lim
), исследовать на сходимость ряд
(
)(
)
∑
∞
=
+
+
−
1 1
3 3
k
k
k
k
k
Решение. Для преобразования частичных сумм используем разложение дроби на простейшие:
(
)(
)
1 3
3
+
+
−
k
k
k
k
3 1
+
+
+
+
=
k
C
k
B
k
A
.
Методом неопределенных коэффициентов нашли значения:
1
=
A
,
2
−
=
B
и
1
=
С
. Следовательно, общий член ряда запишется в виде:
(
)(
)
1 3
3
+
+
−
k
k
k
k
3 1
1 2
1
+
+
+
−
=
k
k
k
.
Тогда частичную сумму можно представить следующим образом:
=
n
S
(
)(
)
=
+
+
−
∑
=
n
k
k
k
k
k
1 1
3 3
=
+
+
+
−
∑
=
3 1
1 2
1 1
k
k
k
n
k
+
+






+
−
+






+
−
+






+
−
+






+
−
+






+
−
=
8 1
6 2
5 1
7 1
5 2
4 1
6 1
4 2
3 1
5 1
3 2
2 1
4 1
2 2
1 1
=






+
+
+
−
+






+
+
−
−
+






+
+
−
−
−
+
3 1
1 2
1 2
1 2
1 1
1 1
1 2
2 1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
3 1
1 2
2 1
1 1
3 1
3 2
2 1
2 2
1 1
+
+
+
−
+
+
+
+
+
−
+
−
=
n
n
n
n
Таким образом, получаем
6 1
3 1
1 2
2 1
1 1
3 1
2 1
lim lim
=






+
+
+
−
+
+
+
+
−
=
+∞
→
+∞
→
n
n
n
n
S
n
n
n
Так как сумма ряда существует и равна конечному значению, то искомый ряд сходится. ■
При исследовании сходимости рядов непосредственно нахождение предела частичных сумм часто связано с большими трудностями. Поэтому используют тот или иной признак сходимости, дающий достаточные условия сходимости или расходимости ряда, которые изложены в следующем разделе.
2. ПРИЗНАКИСХОДИМОСТИЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХРЯДОВ
Теоремы, перечисленные в этом разделе, относятся к знакоположительным числовым рядам (1.1), все члены которых неотрицательны.

ПризнакДаламбера:
если
q
a
a
n
n
n
=
+
+∞
→
1
lim
, торяд(1.1)снеотрицательнымичленамисходитсяпри
1
<
q
ирасходитсяпри
1
>
q
; при
1
=
q
вопрососходимостирядаостается открытым.
ПризнакКоши:
если
q
a
n
n
n
=
+∞
→
lim
, торяд(1.1)снеотрицательнымичленамисходитсяпри
1
<
q
ирасходитсяпри
1
>
q
; при
1
=
q
вопрососходимостирядаостается открытым.
Первыйпризнаксравнения:
еслидлядвухзнакоположительныхрядов
∑
∞
=
1
n
n
a
и
∑
∞
=
1
n
n
b
, начинаяснекоторого номера
n
, выполняетсянеравенстводляобщихчленов:
n
n
b
a
≤
, торядс меньшимичленамисходится, еслисходитсярядсбольшимичленами; еслирядс меньшимичленамирасходится, торасходитсяирядсбольшимичленами.
Второйпризнаксравнения:
еслидлядвухрядов
∑
∞
=
1
n
n
a
и
∑
∞
=
1
n
n
b
снеотрицательнымичленамисуществует конечныйпредел
q
b
a
n
n
n
=
+∞
→
lim
, топри
0
≠
q
обарядаведутсебяодинаковов смыслесходимости, т.е. либообарядасходятся, либооба - расходятся.
ИнтегральныйпризнакКоши:
есличленыряда(1.1)удовлетворяютусловиям
n
n
a
a
≤
+
1
и
0
lim
=
+∞
→
n
n
a
, а непрерывнаяубывающаянеотрицательнаяфункциявещественнойпеременной
( )
x
f
такова, чтопри
,
,
,
2
,
1
n
x
=
еезначенияравнысоответствующим членамряда(1.1)и
0
)
(
lim
=
+∞
→
x
f
n
, торяд(1.1)инесобственныйинтеграл
∫
+∞
1
)
(
dx
x
f
либообасходятся, либообарасходятся.
Когда приходится исследовать на сходимость конкретный ряд, то естественно встает вопрос о том, каким из перечисленных признаков (а они не исчерпывают все известные признаки) воспользоваться. Полезно, прежде всего, проверить выполнение необходимого условия сходимости (1.3):
0
lim
=
+∞
→
n
n
a
. Если оно нарушено, то ряд расходится. Если же оно выполнено, то для исследования сходимости следует обратиться к наиболее простым признакам – Даламбера или
Коши (выбор одного из них легко определяется видом общего члена
n
a
).
Отметим, что когда признаки Даламбера и Коши «не действуют» (т.е. если
1
=
q
), часто оказывается полезным обратиться к признакам сравнения. Этими

признаками удобно пользоваться, когда исследуемый ряд сравнивается с другим рядом, поведение которого с точки зрения сходимости известно, либо который легче поддается исследованию. Такими рядами достаточно простого вида являются обобщенный гармонический и геометрический ряды. Исследуем их на сходимость (см. далее примеры 2.1 и 2.2).
Пример 2.1. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд
(иногда его называют рядом Дирихле)
p
n
n
p
,
1 1
∑
∞
=
– любое вещественное число.
Решение. Если
0
<
p
, то общий член
n
a
ряда при
+∞
→
n
стремится к бесконечности; если
0
=
p
, то при любом
1
:
=
n
a
n
, и, следовательно, по достаточному признаку расходимости исходный ряд расходится. Если
0
>
p
, то данный ряд удобно исследовать на сходимость с помощью интегрального признака Коши. Действительно, общий член ряда
p
n
n
a
1
=
стремится к нулю при
+∞
→
n
, причем это стремление монотонно относительно
n
. В качестве функции
( )
x
f
выберем функцию
p
x
x
f
1
)
(
=
, которая удовлетворяет всем условиям, наложенным на нее в формулировке интегрального признака (она определена при
1
≥
x
, непрерывна, неотрицательна, монотонно убывает и стремится к нулю при
+∞
→
x
). Остается выяснить, сходится ли несобственный интеграл
∫
+∞
1
p
x
dx
, при
0
>
p
Так как первообразная неопределенного интеграла имеет вид:
(
)




=
≠
−
−
=
−
∫
,
1
при
,
ln
,
1
при
,
1 1
1
p
x
p
x
p
x
dx
p
p
то определенный интеграл
(
)




≤
∞
+
>
−
−
=
∫
∞
+
1
при
,
,
1
при
,
1 1
0
p
p
p
x
dx
p
Итак, обобщенный гармонический ряд
∑
∞
=
1 1
n
p
n
1
при
,
расходится
,
1
при сходится,
≤
>
p
p
(2.1)
При
1
=
p
ряд
1 3
1 2
1 1
1 1
+
+
+
+
+
=
∑
∞
=
n
n
n
называется гармоническим, и как установили, он является расходящимся. ■

Пример 2.2. Исследуем на сходимость геометрический ряд
∑
∞
=
0
n
n
q
(иногда его называют рядом геометрической прогрессии).
Решение. Как известно, сумма первых
n
членов геометрической прогрессии
(это и есть частичная сумма ряда)
n
n
q
q
q
q
S
+
+
+
+
+
=
1 3
2
находится по формуле
1
,
1 1
≠
−
−
=
q
q
q
S
n
n
Найдем предел этих частичных сумм:
q
q
q
q
q
S
n
n
n
n
n
n
−
−
−
=
−
−
=
+∞
→
+∞
→
+∞
→
1
lim
1 1
1 1
lim lim
. Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины
q
:
1)
если
1
<
q
, то
0
→
n
q
при
+∞
→
n
. Поэтому
q
S
n
n
−
=
+∞
→
1 1
lim
, т.е. ряд сходится;
2)
если
1
>
q
, то
+∞
→
n
q
при
+∞
→
n
. Поэтому
+∞
=
+∞
→
n
n
S
lim
, т.е. ряд расходится;
3)
если
1
=
q
, то: при
1
=
q
ряд принимает вид
1 1
1 1
+
+
+
+
+
, для него частичная сумма:
n
S
n
=
и
+∞
=
+∞
→
n
n
S
lim
, т.е. ряд расходится; при
1
−
=
q
ряд принимает вид
1 1
1 1
+
−
+
−
, в этом случае частичная сумма:



=
нечетном при
,
1
,
четном при
,
0
n
n
S
n
Следовательно,
n
n
S
∞
→
lim не существует, т.е. в этом случае ряд расходится.
Итак, получили, что ряд геометрической прогрессии
∑
∞
=
0
n
n
q
1
при
,
расходится
,
1
при сходится,
≥
<
q
q
■ (2.2)
Пример