Методические указания к решению задач по курсу "механика" Казань 2 0 1 2 методические указания к решению задач по курсу "
 Скачать 1.36 Mb.
|
|
Нигматуллин Р.Р. Скворцов А.И. Недопекин О.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО КУРСУ “МЕХАНИКА” К а з а н ь 2 0 1 2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО КУРСУ “МЕХАНИКА” (Учебно-методическое пособие для студентов первого курса физического факультета) авторы пособия: профессор кафедры теоретической физики Нигматуллин Р.Р. , доцент кафедры общей физики Скворцов А.И. ассистент кафедры общей физики Недопекин О.В. Рецензент: д. ф.-м. н., проф. кафедры общей физики КГУФишман А.И., В пособии описаны некоторые стандартные способы решения задач по разделу "Механика" курса общей физики. Приводится необходимый для этого математический аппарат. Пособие рассчитано на студентов пер- вого курса физического факультета. Нигматуллин Р.Р. Скворцов А.И. Недопекин О.В. Физический факультет Казанского госуниверситета. 1 Какую цель преследует это пособие? Опыт преподавания курса “Механика” для студентов первого курса физи- ческого факультета Казанского государственного университета в течение пяти лет выявил следующие особенности и нерешенные проблемы в подготовке студентов-первокурсников, поступающих на физический факультет. За очень редкими исключениями, большинство студентов, поступающих на физический факультет, не умеет решать задачи по физике. Это неумение носит общий характер и не зависит от школы, которую заканчивает абитури- ент. У большинства студентов-первокурсников весьма слабая подготовка по математике и явно недостаточная по физике. В частности, многие не умеют раскладывать вектор по осям выбранной системы координат, складывать и вы- читать векторы, не знают, чему равен модуль вектора, не говоря уже о выраже- нии скалярного произведения через компоненты векторов-сомножителей. По- нятие векторного произведения, операции дифференцирования и интегрирова- ния элементарных функций представляют собой следующий “камень преткно- вения”, который необходимо осилить первокурснику в кратчайшие сроки. Вос- полнение этих школьных пробелов требует времени и значительных усилий как от студента так и от преподавателя, а этих компонентов студенту и препо- давателю (в том числе), как правило, не хватает. Если теперь раскрыть любой задачник по физике средней трудности, напри- мер, книгу И.Е. Иродова “Задачи по общей физике” (этот задачник был выбран только по причине его наибольшей доступности для студента), то решение задач по физике, начиная с раздела “Кинематика”, предполагает, что студент хорошо знает основы интегрального и дифференциального исчисления, вплоть до умения интегрировать дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Зная, что студенты этого делать не умеют, любой преподаватель, искренне стремящийся научить студента первокурсника самостоятельному навыку решать задачи по физике, сталкивается с весьма серьёзной проблемой, решение которой требует от него больших затрат времени и усилий на каждого студента. К сожалению, курсы по высшей математике, которые идут в то же самое вре- мя, не помогают в устранении этих школьных пробелов, так как начинается обуче- ние с изучения студентами пределов и функции одной переменной. Это “несовпа- дение обучения по математике и физике” мало помогает преподавателю по физике. Если обратиться к опыту преподавания физики студентам младших курсов в развитых европейских странах, то, обобщая личные впечатления от увиденного и услышанного в университетах Великобритании (Chelsea-college, King’s college), Франции (Universite de Paris-Sud XI, ISMANS), Италии (Bologna University), мож- но с уверенностью утверждать, что там, “за бугром”, преподаватели сталкиваются с теми же проблемами, но решение их в значительной степени переложено “на плечи компьютеров”. В памяти компьютеров записаны основы читаемого курса с методическими указаниями и комментариями, и к каждому курсу всегда имеется 2 минимальный набор задач с подробным методическим разбором наиболее типич- ных из них. Решение задач из этого минимального набора является той первой преградой, которую необходимо преодолеть каждому студенту, прежде чем быть допущенным к контрольной работе и сдать экзамен профессору. Распечатка “ус- пехов” каждого студента доводится до сведения преподавателя, читающего лек- ции и принимающего экзамен, причём это могут быть разные люди. Например, в английских колледжах практикуется такая система, когда преподаватель, читаю- щий лекции на одном потоке, принимает экзамен у студентов другого аналогично- го потока и наоборот. Этим достигается “усреднение” взаимных пристрастий (ис- ключение “любимчиков” и “негодяев”) преподавателя к студенту в данном потоке, унификация требований, предъявляемых к сдаче этого курса, и взаимная проверка преподавателей. Исключением из этого правила могут быть (по решению Ученого Совета данного колледжа) только те профессора, чьё педагогическое мастерство и компетенция не вызывают никаких сомнений. Отметим также, что в университете г. Болоньи (Италия) информация вызыва- ется на мониторы, установленные в библиотеках, из центрального вычислительного центра. Студенты-инвалиды на период обучения снабжаются модемами, компьюте- рами (под залоговую плату) и могут заниматься, не выходя из своего дома. Некоторые идеи, реализованные “у них”, могут оказаться полезными для обсуждения и принятия конструктивных решений на нашем факультете. К сожа- лению, в настоящее время мы не настолько богаты, чтобы написать “компьютер- ные” курсы по общей физике с полным методическим обеспечением, оснастить ими, в достаточной мере, читальные залы и сделать их максимально доступны- ми для каждого студента. Но, если мы хотим не потерять наш потенциальный контингент и научить выпускника нашего факультета умению и навыкам ста- вить и решать проблемы науки, техники, связанные не только с физикой, и сде- лать его конкурентоспособным с выпускниками других факультетов и вузов, то необходимо уже сейчас приступить к решению вышеперечисленных проблем. Цели и задачи этого руководства состоят в том, чтобы в какой-то мере компенсировать недостатки и дефекты школьной подго- товки и разгрузить тем самым время преподавателя по физике, (вынуж- денного дополнительно тратить время и давать сведения по математике) обеспечить самопроверку и контроль минимальных знаний по “школьной” математике и физике опираясь на методические указания, научить студента решать задачи сред- ней трудности по механике в рамках общедоступного задачника И.Е.Иродова “Задачи по общей физике”. Авторы надеются, что это пособие окажет пользу студенту первокурснику и послужит основой для разработки в будущем компьютерного методического пакета для всех разделов общей физики. Профессор Нигматуллин Р.Р. 3 Структура и содержание пособия Методические указания по механике построены по следующему принци- пу: Пособие состоит из 11 разделов, которые включают в себя основные 8 разделов курса “Механика”, перечисленных в задачнике И.Е.Иродова с вклю- чением раздела 4.1 по механическим колебаниям, а также двух разделов: по математике с добавлением минимальных сведений о вычислениях с прибли- женными числами и теории размерности. Перед каждым разделом приводятся с минимальными комментариями не- обходимые теоретические формулы, без знания которых решение задач раздела становится невозможным, и решения нескольких типовых задач, призванные помочь студенту разобраться самостоятельно в разделе в целом. Хотя предлагаемые методические указания “сделаны” под задачник И.Е. Иродова, авторы полагают, что методические рекомендации общего характера и разобранные примеры с активными индивидуальными консультациями пре- подавателя на практических занятиях (как это практикуется в университетах развитых европейских стран) помогут в приобретении навыка решения задач по механике и послужат базой для понимания других разделов общей физики. 4 Несколько советов общего характера к решению задач по физике Если Вы действительно хотите, научиться решать задачи по физике и по- лучать удовлетворение от самостоятельно решенной задачи, то полезно про- честь эти советы, прежде чем приступить к “практическому плаванию”. Про- цесс и выработка навыка решения задач по физике составляет, на наш взгляд, основу подготовки выпускника физического факультета Казанского государст- венного университета. Выработка этого навыка очень напоминает процесс обу- чения плаванию. Можно детально и основательно разобраться в теории каждо- го стиля плавания, но первый же самостоятельный заплыв в бассейне быстро отделит “теоретиков” от “практиков”. Аналогичная ситуация наблюдается и в физике. Можно очень хорошо разбираться в теории, но первая же проверка её усвоения на задаче сразу отделит тех, кто действительно разбирается в физике, от тех, кто усвоил теорию формально и не в состоянии применить полученные знания на практике. Может ли человек научиться плавать, если у него нет интереса, да и плава- ет за него тренер. Ответ на этот вопрос будет положительным только в том случае, когда есть желание научиться решать задачи, проверив при этом свои спо- собности к творчеству, и понять свои собственные и чужие ошибки в процессе обучения этому навыку, требующему, кроме интереса, силу воли, упорство и время. Прежде чем приступить к решению конкретной задачи, полезно ответить на ряд вопросов общего характера: Что такое идеализация физической задачи? Пытаясь решить физическую задачу, Вы сталкиваетесь уже с идеализиро- ванной задачей, когда автор задачника вводит ряд условий, упрощающих зада- чу. Эти условия искусственно отсекают рассматриваемое физическое явление от других дополнительных условий, влиянием которых можно пренебречь. Та- ким образом, идеализированная задача – это поставленная задача, когда введе- ны разумные физические упрощения и выделен класс изучаемых ( в данном случае механических) явлений. Разумная идеализация конкретных физических задач – это важнейшая черта физики как науки и талант ученого-физика, изучающего данное явление. Без такого разумного пренебрежения в физике не- возможно было бы решить ни одной физической задачи. Поэтому при решении задачи очень важно отметить для себя упрощающие ограничения, допущения и предположения, которые присутствуют в задаче в скрытом или явном виде. Эта предварительная работа помогает написать необ- ходимые формулы, которые помогают раскрыть связи между известными фи- зическими величинами и величинами, подлежащими определению. В механике как разделе физики вводится множество таких понятий, которые часто исполь- зуются при решении идеализированных задач. Полезно еще раз вспомнить та- кие важные для механики идеализированные понятия как материальная точ- ка, абсолютно твёрдое тело, абсолютно упругий и неупругий удары, невесо- 5 мый блок, нерастяжимая нить и т.д. Важно всегда задать себе следующий во- прос: какое упрощающее предположение стоит за идеализированным понятием и каковы границы его применимости? Приведём пример: Снаряд выпущен из орудия под углом 60° к горизонту с начальной ско- ростью v 0 500 м/c. Найти дальность полета снаряда. Сопротивлением возду- ха пренебречь. Проводим предварительный анализ задачи на “идеализацию”. Задача поставлена. Задача является идеализированной. Одна идеализация в задаче указана явно – “сопротивлением воздуха пренебречь”. Однако другие упрощающие условия в задаче только подразумеваются. Неявно предполагает- ся, что: орудие расположено на Земле, не учитывается движение Земли вокруг Солнца, не учитывается вращение Земли вокруг собственной оси, предполагается, что направление вектора ускорения свободного падения g в любой точке траектории имеет одно и тоже направление, ускорение свободного падения на Земле считается постоянным: g 9,8 м/c 2 , снаряд принимается за материальную точку. Попробуйте указать границы применимости каждого из вышеперечисленных предположений и сформулировать условия, когда влияние каждого из отброшен- ных факторов на дальность полета снаряда может оказаться существенным. Какой основной вывод можно сделать из этого анализа? Важно научиться “видеть” упрощающие предположения в каждой задаче и постараться обобщить задачу на тот случай, когда отброшенное предположе- ние оказывается существенным. Можно руководствоваться следующим прин- ципом: “Понять – значит обобщить”. Это умение может оказаться существен- ным при оценке вашей квалификации как физика-исследователя. Какие задачи могут встретиться, и возможна ли их классификация? Физические задачи имеют множество признаков. Полезно выделить наиболее существенные из этих признаков, чтобы определить группу методов пригодных для решения этих задач. При изучении физического явления одни физические ве- личины являются известными, а другие – нет. Поэтому если попытаться ответить на вопрос, что же такое физическая задача, то можно дать такое определение: Физическая задача – это словесная модель физического явления с некото- рыми известными и неизвестными физическими величинами, которые суще- ственным образом (этап “идеализации” произведён) характеризуют это яв- ление. Решить физическую задачу – это значит восстановить неизвестные связи и найти неизвестные величины. 6 Из этого определения следуют две квалификации физических задач. Пер- вая основана на различии методов нахождения неизвестных величин, а вторая учитывает содержание данного явления, которое отражает данная физическая задача. Деление по методу предполагает, что для нахождения неизвестных физи- ческих величин можно выбрать два пути: экспериментальный и теоретиче- ский. При первом методе предполагается, что неизвестные величины опреде- ляются из опыта путем измерений. В теоретическом методе неизвестные вели- чины определяются из анализа физических законов, управляющих этим явле- нием, что предполагает решение замкнутой системы математических уравне- ний: алгебраических, дифференциальных, интегральных, функциональных, из которых можно восстановить неизвестные физические величины. В данной ме- тодической разработке предполагается решение теоретических задач, без ис- пользования измерений. Классификацию теоретических задач проведём по степени анализа физического явления и разделим на два больших класса: по- ставленные и непоставленные. Под непоставленной задачей понимается такая задача, в которой не при- водится совокупность необходимых данных для получения управляющих уравнений (за исключением может быть табличных величин) или не проведена её идеализация или отсутствуют оба признака. Пример задачи П.Л. Капицы взятый из брошюры: “Понимаете ли вы физи- ку” (изд-во “Знание”, Москва 1968. под ред. Л.Асламазова и И.Слободецкого): Оценить порядок скорости, с которой человек должен бежать по воде, чтобы не тонуть. В этой задаче не указана связь между такой физической величиной как скорость и физическими характеристиками воды, которые характеризуют усло- вия плавания тел в жидкости (плотность, вязкость, поверхностное натяжение и др.). Не проведён этап идеализации (выбор модели жидкости), из которой можно получить уравнения, связывающие характеристики жидкости с движе- нием твёрдого тела по её поверхности. В поставленной задаче не только обеспечена полнота величин и их значений, необходимых для её решения, но и проведён процесс идеализации. Здесь нет не- обходимости приводить пример поставленной задачи, так как значительное их число приводится в многочисленных задачниках по курсу “Общей физики”. Основной вывод, который можно сделать из этого анализа, следующий: задачи, с которыми встречается студент при изучении физики являются по- ставленными и их решение предполагает знание основных закономерностей изучаемого явления и понимания физических формул, которые “управляют” данным явлением. Задачи, с которыми встретится студент как начинающий фи- зик-исследователь после окончания университета, в большинстве случаев уже бу- дут непоставленными и для их решения необходима “постановка” (выработка мо- дели) и весь арсенал методов и законов, необходимый для их решения. 7 Существуют ли некоторые общие методы решения задач по физике? Даже при решении поставленной задачи полезно выделить некоторые эта- пы, которые существенно помогают при её решении. 1.Физический этап начинается с ознакомления с условиями задачи и за- канчивается составлением замкнутой системы уравнений (в большинстве слу- чаев дифференциальных или алгебраических), в число неизвестных которой входят искомые величины. После получения замкнутой системы уравнений на основании связей (законов) для неизвестных величин задача считается физиче- ски решенной. При этом весьма полезным оказывается графическое представ- ление исходной информации (рисунок, графики функций, которые в визуаль- ной форме помогают найти место искомых физических величин в изучаемом физическом явлении). 2.Математический этап начинается решением замкнутой системы урав- нений и заканчивается получением формулы для неизвестных величин через известные и численного ответа. Задача решена правильно только в том случае, если получен верный общий и численный ответ. 3.Анализ решения проводят после получения решения в общем виде и чис- ленного ответа. На этом этапе выясняют от каких физических величин зависит искомая величина, при каких физических условиях эта зависимость осуществ- ляется и т.п. В заключение общего анализа рассматривается возможность по- становки других физических задач путем изменения, обобщения и преобразо- вания условий данной задачи. При анализе общего решения методом теории размерностей устанавливается правильность полученного решения, что являет- ся необходимым, но недостаточным признаком правильности полученного ре- шения. При анализе численного ответа необходимо проверить: а) размерность искомой физической величины; б) соответствие полученного ответа физически разумным значениям ис- комой величины; в) при получении многозначного ответа– соответствие полученных отве- тов условиям задачи. Эти этапы, впрочем, зачастую перекрываются, например удобную для ре- шения систему уравнений, иногда проще получить, проводя некоторые про- стые математические операции в записываемых уравнениях, а размерности фи- зических величин можно (и нужно) проверять и при записи исходных уравне- ний и при проведении математических выкладок. Можно ли выделить ряд общих методов, которые, обладая широким диа- пазоном применимости, помогли бы студенту решить любую задачу из общего курса физики? Ответ на этот вопрос не может быть однозначным, но тем не менее полез- но выделить два общих метода (не претендующих на роль универсальных), полезных для выработки умения по решению физических задач. Методы, изла- гаемые ниже, можно рассматривать как полезные советы, призванные помочь студенту в его самостоятельной деятельности по решению физических задач. 8 1.Метод анализа физической ситуации задачи. Любая физическая задача выражает собой физическое явление, группу яв- лений или его какую-то часть. Соотношения между исходными и искомыми физическими величинами содержатся внутри анализируемого явления. Для то- го, чтобы найти эти связи, приводящие, в конечном итоге, к системе замкнутых уравнений, необходимо: знать и понимать сущность данного явления, систему физических законов, “управляющих” данным явлением, систему физических величин, входящих в данное явление, границы применимости физических законов, группу факторов и явлений, приведших к “идеализации” данной задачи, умение выделить все эти элементы в задаче. Приступая к предварительному анализу задачи после её первого прочте- ния, полезно записать её условия, осмыслить данные, искомые величины и по- пытаться “нащупать” связи между ними. Для этого необходимо сделать чертеж, схему, рисунок, обозначить на них все данные и искомые величины и, если это возможно, вычертить графики заданных физических величин. Такая предвари- тельная работа позволяет наглядно представить физическое явление задачи. Как известно, физическое явление содержит качественную и количествен- ную стороны. Поэтому сначала полезно определить качественную характери- стику явления (чем это явление отличается от других, по каким причинам оно происходит, в чём его сущность и т.д.). Затем необходимо выделить физиче- скую систему, произвести анализ этапа “идеализации” и выделить физические процессы, в которых участвуют выделенные объекты системы. После этого этапа попытаться установить количественные связи и соотношения между фи- зическими величинами для того, чтобы получить замкнутую систему уравне- ний для искомых физических величин. Поэтому метод анализа физических явлений отвечает на вопросы: с чего начать?, что и как надо делать? и полезен на физическом этапе решения задачи. 2. Система обще-частных методов. Методы дифференцирования– интегрирования (Д-И). Этих методов сравнительно немного. Из них можно выделить: кинемати- ческий, динамический, метод законов сохранения и метод дифференцирования и интегрирования (Д-И). Суть первых трех методов будет изложена в после- дующих разделах 3-5. Суть же метода Д-И основана на двух принципах: воз- можности представления закона в дифференциальной форме и принципе су- перпозиции (если физические величины, входящие в закон, аддитивны). Пусть, соотношение между физическими величинами K, L, M имеет вид: K LM Допустим также, что условием применения этой формулы служит требо- вание L const и для величины K выполняется принцип суперпозиции. Как рас- пространить данное соотношение на случай L const, если известно, что L f(M)? 9 Для этого выделим малый промежуток dM, на котором для заданного M можно приближенно считать L постоянной. Тогда для малого участка dM ис- ходное соотношение примет вид: dK L(M)dM Используя принцип суперпозиции, получим значение величины K в виде 2 1 ( ) M M K L M dM , где M 1 и M 2 – начальное и конечное значения величины M. Таким образом метод Д-И состоит из двух частей: 1. в начале необходимо представить исходное соотношение в дифферен- циальной форме; 2. во второй части метода производят суммирование (интегрирование). Наиболее трудными моментами во второй части являются: выбор пе- ременной интегрирования и определение пределов интегрирования (пределов применимости исходного закона). Для этого выбирают наи- более существенную переменную и определяют функцию L(M). После этого определяют пределы интегрирования и вычисляют искомый ин- теграл. Пример. Какова связь между пройденным путем S(t) и величиной модуля скорости v(t) для произвольного момента времени? Из курса школьной физики известно, что при равномерном и прямолиней- ном движении связь между физическими величинами S и v имеет вид S vt Для некоторого малого интервала времени dt, в пределах которого можно считать v(t) const, эта связь сохраняется. dS v(t)dt Отсюда для произвольного интервала времени и произвольного закона v(t) связь между пройденным путём и скоростью выразится в виде интеграла 0 ( ) ( ) t S t v t dt Аналогичные формулы можно получить для работы в случае переменной силы. Метод Д-И целесообразно применять для задач, где приходится иметь дело с распределением масс, скоростей, сил и т.п. в зависимости от времени или координаты. 10 |