Никифоров_учебное пособие. московский государственный университет дизайна и технологии

• Название: московский государственный университет дизайна и технологии
• Анкор: Никифоров_учебное пособие.doc
• Дата: 11.05.2017
• Размер: 17.89 Mb.
• Имя файла: Никифоров_учебное пособие.doc
• Тип: Учебное пособие; #7451
• страница: 9 из 10

4.2.2. Прямоугольная диметрическая проекция. Коэффициенты искажения: k = n = 0,94 и m = 0,47. Для упрощения построения коэффициенты принимают равными k = n = 1 и m = 0,5, то есть масштаб по осям х и zравен 1:1, а по оси y равен 1:2.

На рис. 4.5 показано положение аксонометрических осей: угол наклона оси Oх к горизонтальной линии равен 7°10', угол наклона оси Oy к горизонтальной линии равен 41°25'.

На рис. 4.5 показаны также направления малой и большой осей эллипса (м.о. и б.о.) в трёх координатных плоскостях и величины большой и малой осей. Эллипсы можно построить по восьми точкам.



4.2.3. Пространственные геометрические объекты в прямоугольной аксонометрии. На рис. 4.6 по ортогональным проекциям призмы построена её изометрическая проекция.

На видимой грани призмы задана точка B, и выполнена задача, обратная показанной на рис. 4.2 – определены координаты точки В (x_В, y_В, z_В) относительно точки O с помощью трёхзвенной координатной линии.



На рис. 4.7 изображён в прямоугольной изометрии цилиндр, верхнее основание которого расположено в плоскости xOy. На видимой части поверхности цилиндра задана точка B и определены её координаты x_В, y_В, z_В относительно точки O с помощью трёхзвенной координатной линии.

На рис. 4.8 изображён в прямоугольной изометрии конус, стоящий основанием на плоскостиxOy. На видимой части поверхности конуса задана точка M. Для определения её координат x_М, y_М, z_М относительно точки O через точку M проведена образующая CD.

.

4.3. Косоугольные аксонометрические проекции
4.3.1. Косоугольная фронтальная изометрическая проекция. Положение аксонометрических осей для этой проекции показано на рис. 4.9. ГОСТ 2.317-69 допускает также применять фронтальные изометрические проекции с углом наклона оси y 30 и 60º. Все три коэффициента искажения равны единице, то есть по всем трём осям масштаб равен 1:1.

4.3.2. Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция. Положение аксонометрических осей показано на рис. 4.10. Допускается также применять горизонтальные изометрические проекции с углом наклона оси y 45 и 60º, сохраняя при этом угол между осями х и y равным 90º. Все три коэффициента искажения равны единице, то есть по всем трём осям масштаб равен 1:1.

Эту проекцию иногда называют «военной» (или векториальной). Для неё характерно, что изображение объекта на виде сверху получается без искажения.

4.3.3. Косоугольная фронтальная диметрическая проекция. Положение аксонометрических осей принимают таким же, как на рис. 4.9.

Рис. 4.9 Рис. 4.10

Допускается также применять фронтальные диметрические проекции с углом наклона оси y 30 и 60º. Коэффициенты искажения: k = n = 1 и m = 0,5. то есть масштаб по осям х и zравен 1:1, а по оси y равен 1:2.

5. ТЕНИ В АКСОНОМЕТРИИ
5.1. Основные понятия теории теней

Для того, чтобы плоскому аксонометрическому изображению придать большую выразительность, на построенное изображение и опорную поверхность наносят тени. Основная задача теории теней заключается в определении контуров собственной и падающей теней данного предмета.

Собственной называется тень, которая образуется на неосвещённой части поверхности самого предмета, то есть той части, на которую не попадают лучи от источника света. Падающей называется тень, отбрасываемая предметом на опорную поверхность и рядом стоящие предметы.

Рассмотрим тело произвольной формы, освещённое световыми лучами, параллельными направлению r(рис. 5.1).

При освещении предмета световые лучи, касательные к поверхности предмета, образуют лучевую обёртывающую поверхность, линия касания которой с поверхностью предмета ABCD отделяет освещённую часть поверхности предмета от неосвещённой и называется контуром (границей) собственной тени.




Линия пересечения А_ОB_OC_OD_O обёртывающей тело лучевой поверхности с поверхностью П, на которую падает тень, отделяет освещённую часть поверхности П от неосвещённой и называется контуром падающей тени. Очевидно, что контур падающей тени является тенью от контура собственной тени.

В качестве поверхности, на которую падает тень от предмета, а также в качестве опорной поверхности, на которой расположен освещаемый предмет, обычно принимается горизонтальная плоскость проекций П₁.

Методика построения контуров теней зависит от вида освещения. По виду освещение подразделяют на центральное и параллельное.

Центральным называется освещение от точечного источника света (свеча, лампа), расположенного на незначительном расстоянии от освещаемого объекта. Источник света при центральном освещении задаётся своими координатами.

Параллельным называется освещение параллельными лучами света. Такое освещение получается, когда источник света удалён в бесконечность. Это, например, освещение от Солнца, поэтому параллельное освещение также называется солнечным или естественным.

При построении в аксонометрии теней при параллельном освещении направление светового потока задаётся аксонометрической проекцией одного из световых лучей r и одной из вторичных проекций этого луча. Чаще всего задаётся вторичная проекция r₁ , то есть аксонометрия проекции светового луча на плоскость П₁ .
5.2. Тени в аксонометрии при центральном освещении
Построение аксонометрии тени при центральном освещении разберём на примере построения тени точки А от светящейся точки Lв прямоугольной аксонометрии (рис. 5.2).

По заданным координатам строим вторичные проекции А₁ и L₁ и аксонометрические проекции точек А и L. Проводим лучи через L и A и через вторичные проекции L₁ и A₁. Точка пересечения двух лучей и определяет аксонометрию тени A₀ от точки A на плоскость хOy.


5.3. Тени в аксонометрии при параллельном освещении
5.3.1. Тени от точки, прямой и плоской фигуры.

Тень от точки будет там, где луч света, проходящий через точку, пересечёт поверхность, на которую падает тень. Пусть точка A задана двумя ортогональными проекциями A₁ иA₂, а направление светового луча задано его аксонометрической проекцией r и вторичной проекцией r₁ (рис. 5.3).




Для построения аксонометрии тени от точки A на плоскость хOy построим изометрическую проекцию точки по трём координатам х_А, y_А, z_А. Затем через точку A проводим луч параллельно проекции r светового луча, а через её вторичную проекцию A₁ проводим прямую параллельно вторичной проекции луча r₁. Пересечение этих двух прямых и определяет аксонометрию тени A₀ от точки A на плоскость хOy

.

На рис. 5.4 показано построение аксонометрии тени от точки A на горизонтально-проецирующую плоскость BCDE. Для этого через точку A проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Σ(A₁1|| r₁ , A2|| r₁). Определяется линия пересечения 1-2 =BCDEΣ.

Проведя через точку A луч параллельноr, на линии 1-2 получим аксонометрию тени A ₀ от точки A на плоскости BCDE.

На рис. 5.5 приведено построение тени от прямой общего положения AB и от горизонтально-проецирующей прямой CD на плоскость хOy в прямоугольной изометрии при заданных направлениях r и r₁. Падающие тени от прямых AB и CD строим по двум точкам, принадлежащим каждой из них.

Из точек A, B, C, Dпроводим лучи, параллельные r, а из точек A₁, B₁, C₁,D₁ проводим лучи, параллельные r₁. В результате пересечения пар соответствующих прямых находим тени A₀B₀ и C₀D₀ от прямых AB иCD. При этом тень C₀D₀ совпадает по направлению с вторичной проекцией r₁ лучаr .

Отметим некоторые свойства теней прямых:

1) Тень отрезка прямой равна и параллельна самому отрезку, когда прямая параллельна плоскости, на которую она отбрасывает тень.

2) Параллельные прямые имеют параллельные тени.

3) Прямая будет иметь тень в виде точки, если её направление совпадает с направлением светового луча.

4) Если отрезок перпендикулярен плоскости проекций, его тень на этой плоскости будет совпадать с одноимённой проекцией светового луча.



Построение тени от многоугольника сводится к построению тени от всех его сторон. На рис. 5.6 дано построение тени от непрозрачного треугольника ABC на плоскость хOy в изометрии при заданных r иr₁.

Если плоскость фигуры расположена параллельно световым лучам, то её тенью будет прямая линия.

Тень от плоской фигуры на параллельную ей плоскость равна этой фигуре.
5.3.2. Построение теней многогранников.

Если многогранник осветить параллельными лучами, то лучи, касающиеся многогранника, образуют призматическую поверхность. Эта лучевая (призматическая) поверхность образует собственную тень многогранника и падающую тень на какую-либо поверхность.

Рассмотрим построение в аксонометрии теней прямой призмы, стоящей на плоскости хOy. Направление световых лучей задано аксонометрией луча r и его вторичной проекцией r₁ (рис. 5.7).


Сначала проводим лучи параллельно r₁ через точки A, B, C, D, E и F нижнего основания призмы. Боковые рёбра 1-C и 4-F будут отделять освещённые боковые грани призмы от неосвещённых. Ломаная линия C1234F является составляющей контура собственной тени призмы.

Далее, проведя луч параллельноr через точку 1, на пересечении с лучом, проходящим через точку C параллельноr₁, получим точку 1₀ и тень C-1₀ от ребра 1-C. Осуществив аналогичные построения для всех других точек контура собственной тени, получим падающую тень от призмы.

На рис. 5.8 показано построение тени от пирамиды в прямоугольной диметрии при заданном направлении светового потока r и его вторичной проекцииr₁.

Построение падающей тени начинаем с нахождения тени A₀ от вершины пирамидыA. Соединив A₀ с точками E и C, получим контур падающей тени. Контур собственной тени пирамиды проходит через рёбраAC и AE, так как тени этих рёбер огра-ничивают контур падающей тени. Как видно, реброAB разделяет две освещённые грани пирамиды.


5.3.3. Построение теней конуса и цилиндра

Для построения собственной и падающей теней конуса необходимо провести касательную лучевую поверхность, которая представляет собой две плоскости, касательные к конусу и параллельные световым лучам.

Построение тени от прямого кругового конуса на плоскость его основания в прямоугольной изометрии при заданном направлении световых лучей показано на рис. 5.9.

Для построения контура падающей тени сначала определяют тень C₀от вершины C конуса на плоскость его основания. Затем из точки C₀проводят касательные C₀Dи C₀Bк контуру основания конуса, которые и определяют границу падающей тени конуса, а образующие CD и CB конуса отделяют освещённую часть от неосвещённой, то есть составляют границу собственной тени конуса.

Если конус обращён вершиной вниз (рис. 5.10), то сначала можно построить собственную тень конуса. Для этого из вершины конуса C проведём так называемый обратный лучC параллельно r до пересечения с плоскостью основания конуса в точке, а затем из точки проведём касательные к основанию конуса в точках B и D. Образующие CB и CD определяют границу собственной тени конуса.

Для построения падающей тени конуса сначала надо построить падающую тень от основания конуса. Для этого можно найти тень A₀ от центра A основания конуса и построить эллипс, конгруэнтный (равный) основанию конуса. Этот эллипс можно построить также по точкам. Затем через точки B и D проводим лучи параллельно r и на падающей тени от основания конуса отмечаем точки B₀ иD₀ , которые соединяем с точкой C≡C₀. Полученная фигура будет контуром падающей тени.

Для построения собственной и падающей теней цилиндра также необходимо провести касательную лучевую поверхность, которая представляет собой касательные плоскости, параллельные оси цилиндра.

На рис. 5.11 показано построение собственной и падающей теней прямого кругового цилиндра в прямоугольной изометрии.

Световые лучи при заданном направлении r, касаясь боковой поверхности цилиндра, образуют две плоскости, касающиеся цилиндра по двум образующим AA₁ и BB₁. Следовательно, проведя прямые, касательные к контуру нижнего основания цилиндра параллельно вторичной проекции r₁, определим границу собственной тени боковой поверхности - это образующие AA₁ и BB₁,и границу падающей тени боковой поверхности - это касательные A₁A₀ иB₁B₀.

Для построения падающей тени от верхнего основания цилиндра можно найти тень C₀ от точкиC, а затем построить эллипс, конгруэнтный верхнему основанию, или построить по точкам падающую тень дуги AB -верхней границы собственной тени.



5.3.4. Построение теней тел с криволинейными образующими поверхностей.

Общий принцип построения границ собственной и падающей тени для поверхности вращения с криволинейной образующей заключается в следующем. Аксонометрический очерк тела перпендикулярно оси вращения разбивается по параллелям на n поясов. Определяя истинный диаметр каждой параллели и используя известные коэффициенты искажения по аксонометрическим и вспомогательным осям, строим относительно соответствующих центров n эллипсов параллелей. По заданным или выбранным направлениям лучей r света и их вторичным проекциям r₁ проецируем построенные эллипсы параллелей на опорную поверхность.

Далее вокруг проекций этих эллипсов на опорной поверхности проводим обводочную кривую, которая будет являться границей тени, падающей от тела вращения. Точки касания обводочной кривой с каждым из эллипсов в направлении, противоположном направлению лучей r света, переносим на соответствующие эллипсы параллелей аксонометрического очерка тела. Соединяя полученные точки плавной кривой линией с учётом видимости, получаем границу собственной тени. В дальнейшем необходимо удалить все вспомогательные линии построения и нанести компоненты светотени, получая в результате технический рисунок изображённого тела.

Рассмотрим данную методику на примере построения технического рисунка тела со сферической поверхностью в прямоугольной изометрии. При известном диаметре D сферы из точки O радиусом, равным 1,22D/2, проводим окружность, которая является аксонометрическим очерком сферы, и оси х_A, y_A и z_A (рис. 5.12).

На оси z_A отмечаем верхний N и нижний P полюса сферы, так как NP=D. От центра O сферы отрезки ON и OP делим на n равных частей (в нашем случае на три части) и отмечаем точки , 1 и , 2 на оси z_A.

Если изображаемую сферу через точки 0, , 1 и , 2 рассечь плоскостями, перпендикулярными оси z, то на её поверхности получим пять окружностей-параллелей. Для построения аксонометрических проекций параллелей необходимо знать их диаметры. Истинные диаметры параллелей можно определить, если через точки деления , 1 и , 2 провести горизонтальные прямые до пересечения с окружностью радиуса, равного D/2=ON. Так, например, диаметр параллели с центром в точке 1 будет равен отрезку 3-4.

Через точки , 1 и , 2 проводим аксонометрические оси, параллельные x_Aи y_A, и строим каждую параллель в прямоугольной изометрии. При построении изометрии параллели, проходящей через точку O, на вспомогательных горизонтальной и вертикальной осях в обе стороны от точки O откладываем отрезки, равные соответственно 1,22D/2и 0,7D/2, а по осям x_A и y_A – D/2.

Соединяя полученные точки плавной кривой, получаем изображение экватора сферы в изометрии. аналогично получаем изометрические проекции других параллелей, помня, что каждая из них имеет свой диаметр.

Пусть сфера своим нижним полюсом P стоит на плоской опоре. На пересечении лучей света, проведённых из точек 0, , , 1 и 2, и их вторичных проекций, проведённых из точкиP, находим точки 0₀, ,, 1₀ и 2₀ , которые являются центрами теней от соответствующих изометрических проекций параллелей сферы.


Так как изометрические проекции параллелей и тени от них находятся в параллельных плоскостях, то эллипсы на плоской опоре изображаются без искажений.

Для осуществления параллельного переноса через точки 0₀, ,, 1₀ и 2₀ проводим вспомогательные горизонтальные и вертикальные оси, а также оси, параллельные х_A и y_A , на которых откладываем соответствующие отображаемому эллипсу отрезки. Вокруг полученных эллипсов с центрами в точках 0₀, ,, 1₀ и 2₀ проводим обводочную кривую a₀ , которая всегда будет эллипсом, кроме случая направления лучей света r параллельно оси z, и является границей падающей от сферы тени.

Отмечаем точки касания обводочной кривой с каждым из эллипсов и проводим параллельно направлению лучей света r линии до пересечения с соответствующими изометрическим проекциями параллелей сферы. Последовательно соединяя полученные точки с учётом видимости, получаем границу a собственной тени на сфере.

Технический рисунок шара при заданном направлении лучей света и его вторичных проекций r₁ можно считать завершённым лишь после нахождения границ собственной и падающей теней, аннулирования вспомогательных и дополнительных линий построения и нанесения компонентов светотени на сферической и опорной поверхностях (рис. 5.13).