вышмат. 1. Числоваяпоследовательности и ее предел
 Скачать 0.89 Mb.
|
14.Определение числового ряда. |
| u1+u2+...+un+... , | (1) |
содержащее неограниченное число членов, где
u1, u2, u3, ... , un, ...
- бесконечная числовая последовательность; un называется общим членом ряда.
Для составления ряда нужно знать закон образования общего члена.
Например, если un= 2*n+1, то ряд имеет вид:
3, 5, 7, 9, ..., 501, 503, ..., n*2+1
Если un= (-1)n, то ряд имеет вид:
-1, +1, -1, +1, ..., -1, +1, ..., (-1)n
Сумма первых n членов ряда обозначается символом Sn и называется частичной суммой этого ряда. Таким образом,
Sn= u1+ u2+ ... + un
или, короче,
Определение: Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда.
Если ряд (1) сходится, т.е. имеет сумму S, то пишут
S = u1+ u2+ ... + un+ ...
Если же при n сумма Sn не имеет предела или
то ряд (1) называется расходящимся и не имеет суммы.
Типичным примером сходящегося ряда может служить ряд, полученный из бесконечно убывающей геометрической прогрессии
| a + aq + aq2+ aq3+ ... + aqn-1+ ..., | (2) |
где
-1 < q < 1
Действительно, для этого ряда
|
При n qn0 (так как | q |<1), поэтому
и ряд (2) будет сходящимся. Таким образом можно написать
|
Если q = 1, то ряд (2) имеет вид
| a + a + a + a + ... + a + ... . | (3) |
Сумма Sn первых его n членов, равная na, по абсолютной величине неограниченно возрастает при неограниченном возрастании числа n. Таким образом, ряд (3) - расходящийся.
Если q = -1, то ряд (2) примет вид
| a - a + a - a + a - a +... +(-1)n-1a + ... . | (4) |
Ясно, что для этого ряда
S2n=0 , S2n-1=a.
т.е.сумма четного числа первых 2n членов ряда (4) стремится к нулю, а сумма нечетного числа первых 2n-1 его членов стремится к a.
Отсюда следует, что ряд (4) расходится, так как в сходящемся ряде как S2n так и S2n-1 стремятся к одному и тому же пределу S.
Ясно, что если | q |>1, то ряд (2) является также расходящимся.