вышмат. 1. Числоваяпоследовательности и ее предел

• Название: 1. Числоваяпоследовательности и ее предел
• Анкор: вышмат.docx
• Дата: 04.05.2017
• Размер: 0.89 Mb.
• Имя файла: вышмат.docx
• Тип: Документы; #6825
• страница: 6 из 16

Достаточные условия экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.

Тогда

• 
  если  при  и  при , то  - точка максимума;
  
• 
  если  при  и  при , то  - точка минимума.
  

Другими словами:

• 
  если в точке  функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то  - точка максимума;
  
• 
  если в точке  функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то  - точка минимума.
  

Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.

• 
  Находим область определения функции.
  
• 
  Находим производную функции на области определения.
  
• 
  Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
  
• 
  Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
  
• 
  Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.
  

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.

Пример.

Найти экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, кромеx=2.

Находим производную:


Нулями числителя являются точки x=-1 и x=5, знаменатель обращается в ноль при x=2. Отмечаем эти точки на числовой оси


Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 иx=6.

, следовательно, на интервале  производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично


Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.

В точке x=-1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .

В точке x=5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .

Графическая иллюстрация.



Ответ:

.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: первый достаточный признак экстремума не требует дифференцируемости функции в самой точке .

Пример.

Найдите точки экстремума и экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел. Саму функцию можно записать в виде:


Найдем производную функции:


В точке x=0 производная не существует, так как значения односторонних пределов при стремлении аргумента к нулю не совпадают:


В это же время, исходная функция является непрерывной в точке x=0 (смотрите разделисследование функции на непрерывность):


Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в ноль:


Отметим все полученные точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов. Для этого вычислим значения производной в произвольных точках каждого интервала, к примеру, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.


То есть,


Таким образом, по первому признаку экстремума, точками минимума являются , точками максимума являются .

Вычисляем соответствующие минимумы функции


Вычисляем соответствующие максимумы функции


Графическая иллюстрация.



Ответ:

.

Второй признак экстремума функции.

Пусть ,

• 
  если , то  - точка минимума;
  
• 
  если , то  - точка максимума.
  

Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .

Пример.

Найти экстремумы функции .

Решение.

Начнем с области определения:


Продифференцируем исходную функцию:


Производная обращается в ноль при x=1, то есть, это точка возможного экстремума. Находим вторую производную функции и вычисляем ее значение при x = 1:


Следовательно, по второму достаточному условию экстремума, x=1 - точка максимума. Тогда  - максимум функции.

Графическая иллюстрация.



Ответ:

Третье достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в -окрестности точки  и производные до n+1-ого порядка в самой точке . Пусть  и .

Тогда,

• 
  если n – четное, то  - точка перегиба;
  
• 
  если n – нечетное, то  - точка экстремума, причем
  
  • 
    если , то  - точка минимума;
    
  • 
    если , то  - точка максимума.
    

Пример.

Найти точки экстремума функции .

Решение.

Исходная функция является целой рациональной, ее областью определения является все множество действительных чисел.

Продифференцируем функцию:


Производная обращается в ноль при , следовательно, это точки возможного экстремума. Воспользуемся третьим достаточным условием экстремума.

Находим вторую производную и вычисляем ее значение в точках возможного экстремума (промежуточные вычисления опустим):


Следовательно,  - точка максимума (для третьего достаточного признака экстремума имеем n=1 и ).

Для выяснения характера точек  находим третью производную и вычисляем ее значение в этих точках:


Следовательно,  - точка перегиба функции (n=2 и ).

Осталось разобраться с точкой . Находим четвертую производную и вычисляем ее значение в этой точке:


Следовательно,  - точка минимума функции.

Графическая иллюстрация.



Ответ:

 - точка максимума,  - точка минимума функции.