вышмат. 1. Числоваяпоследовательности и ее предел
 Скачать 0.89 Mb.
|
Следствия из первого замечательного предела1°  2°  3°  4°  5.Второй замечательный предел.1 Второй замечательный предел: здесь е - число Эйлера. Пример Задание. Найти предел  Решение. Подставим , получим неопределенность и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.     Ответ.  Следствия из второго замечательного предела1°  2°  3°  4°  5°  6°  6.Непрерывность элементарных функций Важнейшим свойством всех элементарных функций является их непрерывность в каждой точке определения. Убедимся в этом на примере некоторых элементарных функций.Рациональные функции.  — непрерывна во всех точках, поскольку для любого значения аргумента   . — непрерывна во всех точках, так как  . — непрерывна по теореме о произведении непрерывных функций.Многочлен  — непрерывен по теореме о сумме (разности) непрерывных функций.По теореме о частном непрерывных функций дробно-рациональная функция  — непрерывна везде, где  .Тригонометрические функции.  ,  — непрерывны всюду. Рассмотрим функцию  .Так как  , а последнее выражение стремится к нулю при  , то и  . Неравенство  следует из того что синус угла α (отсчитываемый от направления оси абсцисс) представляет собой величину ординаты точки на единичной окружности, а угол α есть длина дуги этой окружности.Аналогично доказывается непрерывность  .По теореме о частном непрерывных функций тригонометрические функции  ,  — непрерывны всюду, где знаменатель не обращается в ноль. — непрерывна всюду, так как  , а непрерывность при  очевидна.Вычисление пределов непрерывных функцийДля непрерывных функций задача вычисления предела становится тривиальной. Если известно, что функция  непрерывна в некоторой точке , то ее предел  в этой точке может быть вычислен нахождением значения функции в этой точке  .Пример 1.Найти предел  .Поскольку  является непрерывной функцией, можем сразу найти предел = .Пример 2.Найти предел  .И в числителе, и в знаменателе стоят непрерывные функции. Поскольку знаменатель отличен от нуля в точке  , можем воспользоваться теоремой о пределе частного и записать  .Пример 3.Найти предел  .И в числителе, и в знаменателе стоят непрерывные функции. Поскольку знаменатель отличен от нуля в точке , можем воспользоваться теоремой о пределе частного и записать = . |