вышмат. 1. Числоваяпоследовательности и ее предел

• Название: 1. Числоваяпоследовательности и ее предел
• Анкор: вышмат.docx
• Дата: 04.05.2017
• Размер: 0.89 Mb.
• Имя файла: вышмат.docx
• Тип: Документы; #6825
• страница: 9 из 16

Определённый интеграл

Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x0 , x1], [x1 , x2], …, [xi-1 ,xi], …, [xn-1 , xn]; длину i-го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [xi-1 , xi] выберем произвольную точку  и составим сумму .
Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм  при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b]на части [xi-1 , xi], ни от выбора точек , то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается .
Функция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.
Кратко определение иногда записывают так: .
В этом определении предполагается, что b> a. Для других случаев примем, тоже по определению:

Если b=a, то ; еслиb.

Свойства определённого интеграла.

1. Линейность. Если функции f(x), g(x) интегрируемы по отрезку [a,b] , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация A f(x) + B g(x) (A, B = const), и
.
2. Аддитивность. Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a,b] и точка c принадлежит этому отрезку, то .
При формулировании следующих свойств предполагаем, что b > a.
3. Интеграл от единичной функции ( f(x) = 1). Если f(x) = 1, то .


Вычисление определённого интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то .
Пример применения формулы Ньютона-Лейбница:
.
Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то 
Пример:.

13. Геометрический смысл определенного интеграла.

Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл



представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.).



     Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция f(x), заданная на промежутке [a, b], равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек z₁, z₂, ..., z_N. Составим для f(x) интегральную сумму σ.

     Пусть из точек ξ₀, ξ₁, ..., ξ_n-1, входящих в определение σ, p точек совпадают с точками z_i, а остальные отличны от них. Тогда в сумме σ будет лишь p слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел | f(z_i) | (i = 1, 2, ...,N) есть K, то, очевидно,

| σ | ≤ Kpλ ≤ KNλ,

откуда ясно, что при λ → 0 будет и σ → 0. Таким образом, интеграл



существует и равен нулю.

     Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ(x) задана на промежутке [0, 1] так:



Если мы, составляя сумму σ, за точки ξ_k выберем числа иррациональные, то окажется σ = 0. Если же все ξ_k взять рациональными, то получится σ = 1. Таким образом, за счет одного лишь уменьшения λ нельзя приблизить σ к какому-либо постоянному числу, и интеграл



не существует.

     В настоящее время известны точные признаки, позволяющие судить, имеет или нет заданная функция определенный интеграл, но мы ограничимся вышеприведенной теоремой об интегрируемости непрерывных функций.