вышмат. 1. Числоваяпоследовательности и ее предел
 Скачать 0.89 Mb.
|
10. Экстремумы функцииОпределение экстремумаФункция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)). Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f '(x) 0 (f ' (x) 0). Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)). Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами. Точки экстремумаНеобходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f '(xо) = 0, либо f (xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f ' (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет. Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ' (x) в окрестности точки xо и вторую производную в самой точке xо. Если f ' (xо) = 0, >0 (<0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b]. Пример 3.22.Найти экстремумы функции f(x) = 2x3 - 15x2+ 36x - 14. Решение.Так как f '(x) = 6x2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x1 = 2 и x2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках x1 = 2 и x2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13. Задачи на нахождения экстремума функцииПример 3.23.Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь? Решение.Обозначим стороны площадки через x и y. Площадь площадки равна S = xy. Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому y = a - 2x и S = x(a - 2x), где 0 ≤ x ≤ a/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S ' = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда y = a - 2a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. Приxa/4 S ' > 0, а при x >a/4 S '< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на [0, a/2] и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x. Пример 3.24.Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16 ≈ 50 м3. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала? Решение.Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2R(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = R2Н Н = V/R2 =16/ R2 = 16/ R2. Значит, S(R) = 2(R2+16/R). Находим производную этой функции: S ' (R) = 2(2R- 16/R2) = 4 (R- 8/R2). S '(R) = 0 при R3 = 8, следовательно, R = 2, Н = 16/4 = 4. Пример 3.22.Найти экстремумы функции f(x) = 2x3 - 15x2+ 36x - 14. Решение.Так как f '(x) = 6x2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x1 = 2 и x2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках x1 = 2 и x2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13. Пример 3.23.Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь? Решение.Обозначим стороны площадки через x и y. Площадь площадки равна S = xy. Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому y = a - 2x и S = x(a - 2x), где 0 ≤ x ≤ a/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S ' = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда y = a - 2a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. Приxa/4 S ' > 0, а при x >a/4 S '< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на [0, a/2] и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x. Пример 3.24.Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16 ≈ 50 м3. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала? Решение.Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2R(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = R2Н Н = V/R2 =16/ R2 = 16/ R2. Значит, S(R) = 2(R2+16/R). Находим производную этой функции: S ' (R) = 2(2R- 16/R2) = 4 (R- 8/R2). S '(R) = 0 при R3 = 8, следовательно, R = 2, Н = 16/4 = 4. |