вышмат. 1. Числоваяпоследовательности и ее предел
 Скачать 0.89 Mb.
|
17.Понятие суммы степенного ряда. Ряд ТейлораНачнем подходить к теме с воспоминаний. Как мы помним, любой числовой ряд может или сходиться, или расходиться. Если числовой ряд сходится, то это значит, что сумма его членов равна некоторому конечному числу: На уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда мы рассматривали уже не числовые, а функциональные и степенные ряды. Возьмём тот самый подопытный степенной ряд, который всем понравился: . В ходе исследования было установлено, что этот ряд сходится при . Если числовые ряды сходятся к ЧИСЛАМ, то к чему же сходятся функциональные и степенные ряды? Правильно подумали. Функциональные ряды сходятся к ФУНКЦИЯМ. В частности, суммой ряда в его области сходимости является некоторая функция : Еще раз подчеркиваю, что данный факт справедлив только для найденной области , вне этого промежутка степенной ряд будет расходиться. Чтобы всё стало окончательно понятно, рассмотрим примеры с картинками. Я выпишу простейшее табличное разложение синуса в степенной ряд:  Область сходимости ряда: (По какому принципу получены сами элементарные табличные разложения, мы рассмотрим чуть позже). Теперь вспоминаем школьный график синуса :  Вот такая симпатичная синусоида. Хмм…. Где-то я уже это видел…. Теперь фишка. Если начертить график бесконечного многочлена  , то получится… та же самая синусоида! То есть, наш степенной ряд сходится к функции . Используя признак Даламбера (см. статью Степенные ряды. Область сходимости ряда), легко проверить, что ряд сходится при любом «икс»: (собственно, поэтому в таблице разложений и появилась такая запись об области сходимости).А что значит вообще «сходится»? По смыслу глагола – что-то куда-то идёт. Если я возьму первые три члена ряда и начерчу график многочлена пятой степени, то он лишь отдаленно будет напоминать синусоиду. А вот если составить многочлен из первых ста членов ряда: и начертить его график, то он будет с синусоидой практически совпадать. Чем больше членов ряда – тем лучше приближение. И, как уже отмечалось, график бесконечного многочлена – есть в точности синусоида. Иными словами, ряд сходится к функции при любом значении «икс». Рассмотрим более печальный пример, табличное разложение арктангенса:  Область сходимости ряда: Печаль заключается в том факте, что график бесконечного многочлена  совпадает с графиком арктангенса только на отрезке (т.е. в области сходимости ряда): Вне отрезка разложение арктангенса в ряд расходится, а график бесконечного многочлена пускается во все тяжкие и уходит на бесконечность. Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора— его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка. ОпределениеПусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд  называется рядом Тейлора функции в точке . То есть, рядом Тейлора для функции в окрестности точки называется степенной ряд относительно двучлена вида  |