Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
Скачать 0.69 Mb.
|
1. Функция, ОДЗПусть заданы 2 множества Х,У функцией или отображением из Х в У называется правило, по которому каждому значению их Х ставится в соотвествие значение из У. Числовые функции характеризуются тем, что оба множества Х и У являются подмножествами множества действительных чисел (или совпадают с ними). Область определения функции - множество возможных значений, которые может принимать аргумент. Графиком функции с областью определения называется множетсво точек Г={(x,f(x)|xX}. 2. Свойства функции.1. Чётность. Если облать определения функции симметричня относительно нуля и f(-x)=f(x) xD(f), то функция у=f(x) называется чётной. Если f(-x)= - f(x) xD(f), то функция у=f(x) называется нечётной. Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция обшего вида. 2. Монотонность. функция у=f(x) – возрастающая , если для любого х1 и х2 из области определения функции (х1<х2) выполняется неравенство f(x1) Функция у=f(x) – убывающая, если для любого х1 и х2 из области определения функции (х1>х2) выполняется неравенство f(x1)>f(x2). Возрастающие или убывающие функции называются монотонными. 3. Ограниченность. Функция у=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке , если существует М>0, MR|xданному промежутку |f(x)|M. Функция у=f(x) называется ограниченной снизу, если существует mR |xданному промежутку mf(x). Функция у=f(x) называется ограниченной сверху, если существует mR |xданному промежутку mf(x). 4. Периодичность. Функция у=f(x) называется периодической с периодом Т не равным нулю, если выволняется условие f(x+ - T)=f(x). 3. Обратная функция.Пусть Функция у=f(x) задана на множестве Х=D(f) и Y=E(f). Предположим, что различным значениям х1 и х2 соответствуют различные значения функции f(x1) и f(x2). Тогда для любого уУ мы сможем поставить в соответсвие хХ| y=f(x). Получает отображение f-1: УХ. Это отображение называется обратным. График прямой и обратной функции симметричен относительно биссектрисы первой и третьей координатной четверти. 4. Сложная функция.Пусть заданы две функции t=h(x), [xD(h), T=E(h)] и y=g(t), [tT=D(g), Y=E(g)] (область определения одной функции совпадает с областью значений другой функции и наоборот) Тогда справедливо следующее правило: из любого хХ по правилу ставится в соответствие y=g(h(x)). Это правило называется сложной функцией. 5. Основные элементарные функции.1. Степенная. y=x, =const, R. D(f)=(0;+). Если ND(f)=R. 2. Показательная. y=ax, a>0,a не равно 1. D(f)=R/ E(f)=(0;+). Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если а(0;1), функция убывает. 3. Логарифмическая. y=logax, a>0, a не равно 1. D(f)=(0;+), E(f)=R. Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если а(0;1), функция убывает. 4. Тригонометрические. 5. Обратные тригонометрические. 6. Предел функцииОпр. Пределом функции у=f(x) в точке х0 (или при х →х0 )называют число а, если для любой последовательности { хn} значений аргумента , сходящейся к (при этом все хn≠ х0) последовательность значений функции сходится к пределу а. Это записывают в виде: (*) Аналогично определяеся предел при х →∞ (случаи когда х0 есть +∞ или -∞). А именно, равенство (*) во всех случаях означает следующее: для любой последовательности { хn}, сходящейся к х0 , соответствующая последовательность {f(хn)} сходится к а. 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.Опр. Функция f(x) наз.бесконечно малой при х →х0, если и бесконечно большой при х →х0 , если Справедливы теоремы. 1.Сумма и произведение двух бесконечно малых функций (при х →х0) снова являются бесконечно малыми функциями (при х →х0). |