Главная страница
Навигация по странице:

  • Эластичностью

  • Свойства эластичности

  • Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз


    Скачать 0.69 Mb.
    Название1. Функция, одз
    АнкорШпоры по матану(1 курс).doc
    Дата25.03.2018
    Размер0.69 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаШпоры по матану(1 курс).doc
    ТипДокументы
    #17195
    страница6 из 33
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   33

    7. Дифференциал функции в точке


    Опр. Диф-м функции в х0 наз. линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в этой точке, эквивалентная всему приращению.

    d f(х0)= f 0) ∆х; ∆х=dх; df(х0)= f 0) dх

    Геометрический смысл. Уравнение касательной в х0 эквивалентно уравнению

    у=f(х0)+ f 0) ∆х (***)

    сравнивая (**) и (***) видим, что расстояние от точки Р(х, f(x)) на графике до точки Q (x, f(х0)+ f 0) ∆х) на касательной равно α(∆х)∆х, т.е. является бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆х, когда ∆х→0.
    Вывод: геометрический смысл дифференцируемости f(x) в точке х0 состоит в том, что расстояние от точки на ее графике до соответствующей на касательной стремится к нулю "быстрее", чем ∆х.

    8. Приближенные вычисления.


    f(x0)f '(x0) x

    f(x0+x)- f(x0)  f '(x0) x x

    f(x0+x)= f(x0)+ f '(x0) x

    9. Эластичность функции и ее свойства.


    Эластичностью функции y = f(x) в точке х0 называется следующий предел

    Eyx(x0) = lim ((Δy/y): (Δx/x)).

    Δx 0

    Говорят также, что Еxy(x0) – это коэффициент эластичности y по x.

    (При достаточно малых Δx выполняется приближенное равенство

    (Δy/y): (Δx/x)  Еy  Δy/y  Еy Δx/x.

    Эластичность Ey – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x.)

    Еyx(x0) = lim ( (f(x0 + Δx) – f(x0))/f(x0) : Δx/x0 ) = (x0/f(x0))f’(x0)

    Δx0

    Ey = (x/y)y’.

    Если y’/y представить как логарифмическую производную, то получается

    Ey = x(lny)’

    x = 1/(1/x) = 1/(lnx)’  Ey = (lny)’/(lnx)’
    Свойства эластичности (эластичность во всех последующих примерах будет браться по x)

    1. Eky = Ey

    Eky = x (ln (ky))’ = x (ln k + ln y)’ = x(ln y)’ = Ey

    1. Euv = Eu + Ev

    Euv = x (ln uv)’ = x (ln u + ln v)’ = x(ln u)’ + x(ln v)’ = Eu + Ev

    1. E u/v = E u – Ev

    2. y = y1 + y2; y1, y2 > 0

    Emin  Ey  Emax

    Emin = min {E(y1), E(y2)}

    Emax = max {E(y1), E(y2)}

    (Лемма a/b, c/d – дроби; a/b  c/d  a/b  (a+c)/(b+d)  c/d)

    E(y) = y’x/y

    E (y1 + y2) =( (y1 + y2)’/ (y1 + y2))•x = ( (y1 + y2’)/ (y1 + y2))•x

    E(y1) = (y1’/y1)x; E(y2) = (y2’/y2)x

    Из леммы получаем: (y1’/y1)x  ( (y1 + y2’)/ (y1 + y2))•x  (y2’/y2)x 

     Emin  Ey  Emax

    1. Для функций y = f(x) и x = g(t) эластичность y по tв точке t0 удовлетворяет следующему равенству:

    Eyx(t0) = Eyx(g(t0))Ext(t0).

    Eyt(t0) = (ln y)’t = (ln y)’t (ln x)’t = (ln y)’x xt Ext(t0) = Eyx(g(t0))Ext(t0)

    (ln t)’t (ln x)’t (ln t)’t (ln x)’x xt


    1. Для функции y = f(x) эластичность обратной функции x = g(y) в точке x0 удовлетворяет соотношению:

    Exy(y0) = E –1yx(g(y0)).

    Поскольку g (y) – обратная функция, то выполняется тождество

    f(g(y)) = y

    По свойству 5) получается Eyx(g(y0))Exy(y0) = Eyy(y0) = lim((Δy/y):(Δy/y)) = 1 

     Eyx(g(y0))Exy(y0) = 1  Exy(y0) = E –1yx(g(y0))

    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   33


    написать администратору сайта