Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
Скачать 0.69 Mb.
|
7. Дифференциал функции в точкеОпр. Диф-м функции в х0 наз. линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в этой точке, эквивалентная всему приращению. d f(х0)= f ′(х0) ∆х; ∆х=dх; df(х0)= f ′(х0) dх Геометрический смысл. Уравнение касательной в х0 эквивалентно уравнению у=f(х0)+ f ′(х0) ∆х (***) сравнивая (**) и (***) видим, что расстояние от точки Р(х, f(x)) на графике до точки Q (x, f(х0)+ f ′(х0) ∆х) на касательной равно α(∆х)∆х, т.е. является бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆х, когда ∆х→0. Вывод: геометрический смысл дифференцируемости f(x) в точке х0 состоит в том, что расстояние от точки на ее графике до соответствующей на касательной стремится к нулю "быстрее", чем ∆х. 8. Приближенные вычисления.f(x0)f '(x0) x f(x0+x)- f(x0) f '(x0) x x f(x0+x)= f(x0)+ f '(x0) x 9. Эластичность функции и ее свойства.Эластичностью функции y = f(x) в точке х0 называется следующий предел Eyx(x0) = lim ((Δy/y): (Δx/x)). Δx 0 Говорят также, что Еxy(x0) – это коэффициент эластичности y по x. (При достаточно малых Δx выполняется приближенное равенство (Δy/y): (Δx/x) Еy Δy/y Еy Δx/x. Эластичность Ey – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x.) Еyx(x0) = lim ( (f(x0 + Δx) – f(x0))/f(x0) : Δx/x0 ) = (x0/f(x0))f’(x0) Δx0 Ey = (x/y)y’. Если y’/y представить как логарифмическую производную, то получается Ey = x(lny)’ x = 1/(1/x) = 1/(lnx)’ Ey = (lny)’/(lnx)’ Свойства эластичности (эластичность во всех последующих примерах будет браться по x)
Eky = x (ln (ky))’ = x (ln k + ln y)’ = x(ln y)’ = Ey
Euv = x (ln uv)’ = x (ln u + ln v)’ = x(ln u)’ + x(ln v)’ = Eu + Ev
Emin Ey Emax Emin = min {E(y1), E(y2)} Emax = max {E(y1), E(y2)} (Лемма a/b, c/d – дроби; a/b c/d a/b (a+c)/(b+d) c/d) E(y) = y’x/y E (y1 + y2) =( (y1 + y2)’/ (y1 + y2))•x = ( (y1’ + y2’)/ (y1 + y2))•x E(y1) = (y1’/y1)x; E(y2) = (y2’/y2)x Из леммы получаем: (y1’/y1)x ( (y1’ + y2’)/ (y1 + y2))•x (y2’/y2)x Emin Ey Emax
Eyx(t0) = Eyx(g(t0))Ext(t0). Eyt(t0) = (ln y)’t = (ln y)’t (ln x)’t = (ln y)’x xt’ Ext(t0) = Eyx(g(t0))Ext(t0) (ln t)’t (ln x)’t (ln t)’t (ln x)’x xt’
Exy(y0) = E –1yx(g(y0)). Поскольку g (y) – обратная функция, то выполняется тождество f(g(y)) = y По свойству 5) получается Eyx(g(y0))Exy(y0) = Eyy(y0) = lim((Δy/y):(Δy/y)) = 1 Eyx(g(y0))Exy(y0) = 1 Exy(y0) = E –1yx(g(y0)) |