Главная страница

Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз


Скачать 0.69 Mb.
Название1. Функция, одз
АнкорШпоры по матану(1 курс).doc
Дата25.03.2018
Размер0.69 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаШпоры по матану(1 курс).doc
ТипДокументы
#17195
страница9 из 33
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   33

15 Условия монотонности функции.


Если у=f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на этом отрезке, то у=f(x)-const, тогда и только тогда, когда f(x)=0 при х[a,b]. Следствие у=f(x), y=g(x) непрерывна и диффиренцируема на (a,b) и f(x)=g(x), то f(x)=g(x)+C.

y=f(x) возрастает на Х, если для любых х12Х, таких что х12 f(x1)2), убывает если x12 f(x1)>f(x2).

Достаточное условие монотонности. Если функция непрерывна, дифференцируема на (a,b) и внутри (a,b) сохраняет знак, то функция у=f(x) монотонна.

Докажем для f(x)>0  y=f(x) – возрастает на (a,b) (для убывающей функции доказательство аналогичное)

Доказательство.

Возьмём точки из отрезка (a,b) х1 и х2, такие что х12. По теореме Лагранжа найдётся тоска с, приналежащая отрезку, для которой f(x2)-f(x1)= f(c)(x2-x1). Так как х12, то точка с является внутренней точкой промежутка Х. Поэтому f(c)0 и f(x2)f(x1). Таким образом, мы доказали, что функция f(x) не убывает на промежутке Х.

16. Условия сущ. экстремула


Необходимое условие существования экстремума. Для того, чтобы дифференцируемая функция f(x) имела в точке х0 локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство f(x0)=0.

Доказательство.

Поскольку х0 – точка экстремума, то существует такой интервал (х0-, х0+), на котором f(x0) – наибольшее или наименьшее значение. Тогда по теореме Ферма f(x0)=0.

Точки, в которых производная функция обращается в нуль, называются стационарными.

Достаточное условие существование экстремума. Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 – точка локального максимума функции f(x), а если с минуса на плюс, то х0 – точка локального минимума.

Доказательство.(для максимума, для минимума – аналогично, то бишь самостоятельно)

Пусть f(x) – непрерывная дифференцируемая функция. f(x) меняет знак с «+» на «-». Пусть для любого х (х0 -, х0 f(x)>0  по достаточному условию монотонности производная возрастает на данном интервале  f(x0)f(x) x0-, x0

Пусть для х00+ f(x)<0, следовательно, функция убывает на хх00+ f(x0)f(x) для любого хх00+).

Вывод: для любого х  (х0-, х0+) х0 – точка максимума для функции у=f(x). Ч.т.д.

17. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке.


Наибольшее значение достигается в некоторой точке х0 [a,b]. При этом возможны лишь следущие 3 случая: 1) х0=а, 2) х0=b, 3)х0(a,b). Пусть х0(a,b). Тогда х0 – точка локального экструмума и, если существует f(x0), f(x0)=0. Однако производная f(x0) может и не существовать.

Критической точкойфункции f(x) называется точка, в которой производная f(x) либо не существует, либо равна нулю.

Из определения вытекает, что точка локалького экстремума x0 является критической точкой функции f(x) . Предположим, что критические точки функции f(x) на интервале (a; b) образуют конечное множество {x1,x2, …,xn}. Из сказанного выше следует, что точка x0 , в которой функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение, совпадает с одной из точек: a,b,x1,…xn. Поэтому для максимального значения функции f(x) на отрезке [a,b] имеем равенство fmax=max{f(a),f(b),f(x1),…f(xn)}. Аналогично для минимального значения fmin=min { f(a),f(b),f(x1),…f(xn)}.

1
8. Общая схема исследования функции и построения ее графика.


1.Область определения функции, поведение функции на границе области определения. Асимптоты. Точки пересечения с осями.

(Справка: для нахождения асимптот рассматриваем односторонние пределы (вертикальная асимптота), и пределы при х→∞ для выражений f(x)/х (предел равен к) и f(x)-кх (b) (наклонная асимптота у=кх+b). Подробнее вопр.1.3.

2.Четность, нечетность. Периодичность.

(справка: четная f(-x)=f(x); нечетная f(-x)=-f(x). Периодичность f(x+Т)=f(x)=f(x-Т))

3.Монотонность и экстремумы. (Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными. Находим производную, критические точки. промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума).

4.Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. (Для этого находим вторую производную, точки перегиба, распределяем знаки второй производной: -вогнутая, +выпуклая)

5.График функции с обозначением всех найденных точек и асимптот.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   33


написать администратору сайта