Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
Скачать 0.69 Mb.
|
15 Условия монотонности функции.Если у=f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на этом отрезке, то у=f(x)-const, тогда и только тогда, когда f(x)=0 при х[a,b]. Следствие у=f(x), y=g(x) непрерывна и диффиренцируема на (a,b) и f(x)=g(x), то f(x)=g(x)+C. y=f(x) возрастает на Х, если для любых х1,х2Х, таких что х1 Достаточное условие монотонности. Если функция непрерывна, дифференцируема на (a,b) и внутри (a,b) сохраняет знак, то функция у=f(x) монотонна. Докажем для f(x)>0 y=f(x) – возрастает на (a,b) (для убывающей функции доказательство аналогичное) Доказательство. Возьмём точки из отрезка (a,b) х1 и х2, такие что х1<х2. По теореме Лагранжа найдётся тоска с, приналежащая отрезку, для которой f(x2)-f(x1)= f(c)(x2-x1). Так как х1 16. Условия сущ. экстремулаНеобходимое условие существования экстремума. Для того, чтобы дифференцируемая функция f(x) имела в точке х0 локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство f(x0)=0. Доказательство. Поскольку х0 – точка экстремума, то существует такой интервал (х0-, х0+), на котором f(x0) – наибольшее или наименьшее значение. Тогда по теореме Ферма f(x0)=0. Точки, в которых производная функция обращается в нуль, называются стационарными. Достаточное условие существование экстремума. Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 – точка локального максимума функции f(x), а если с минуса на плюс, то х0 – точка локального минимума. Доказательство.(для максимума, для минимума – аналогично, то бишь самостоятельно) Пусть f(x) – непрерывная дифференцируемая функция. f(x) меняет знак с «+» на «-». Пусть для любого х (х0 -, х0 f(x)>0 по достаточному условию монотонности производная возрастает на данном интервале f(x0)f(x) x0-, x0 Пусть для х0,х0+ f(x)<0, следовательно, функция убывает на хх0,х0+ f(x0)f(x) для любого хх0,х0+). Вывод: для любого х (х0-, х0+) х0 – точка максимума для функции у=f(x). Ч.т.д. 17. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке.Наибольшее значение достигается в некоторой точке х0 [a,b]. При этом возможны лишь следущие 3 случая: 1) х0=а, 2) х0=b, 3)х0(a,b). Пусть х0(a,b). Тогда х0 – точка локального экструмума и, если существует f(x0), f(x0)=0. Однако производная f(x0) может и не существовать. Критической точкойфункции f(x) называется точка, в которой производная f(x) либо не существует, либо равна нулю. Из определения вытекает, что точка локалького экстремума x0 является критической точкой функции f(x) . Предположим, что критические точки функции f(x) на интервале (a; b) образуют конечное множество {x1,x2, …,xn}. Из сказанного выше следует, что точка x0 , в которой функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение, совпадает с одной из точек: a,b,x1,…xn. Поэтому для максимального значения функции f(x) на отрезке [a,b] имеем равенство fmax=max{f(a),f(b),f(x1),…f(xn)}. Аналогично для минимального значения fmin=min { f(a),f(b),f(x1),…f(xn)}. 1 |