Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
![]()
|
19. Теорема ФермаПусть ф-я у = f(x) определена в некотором промежутке [a;b] и во внутренней точке этого промежутка спринимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке существует конечная производная, то она = 0. С a, с b, f(c) – max. Докажем, что f'(c) = 0. Т.к. f(c) - max, то для всех точек f(x) f(c) при x[a;b] f(x) f(c) 0 Т.к. по условию теоремы в точке с ф-я f имеет производную, то можно рассмотреть производную f'(c) = lim (f(x)f(c))/(x-c) 1) xc 0 f’(c) 0 f’(c) = 0 2) xc 0 f’(c) 0 20. Теорема РолляЭта теорема позволяет отыскать критические точки, а затем с помощью достаточных условий исследовать ф-ю на экстремумы. Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на некотором замкнутом промежутке [a;b]; 2) существует конечная производная, по крайней мере, в открытом промежутке (a;b); 3) на концах промежутка ф-я принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда между точками a и b найдется такая точка с, что производная в этой точке будет = 0. Док-во: По теореме о свойстве ф-ий, непрерывных на отрезке, ф-я f(x) принимает на этом отрезке свое max и min значение. f(x1) = M – max , f(x2) = m – min ; x1;x2 [a;b] 1) Пусть M = m, т.е. m f(x) M ф-я f(x) будет принимать на интервале от a до b постоянные значения, а ее производная будет равна нулю. f’(x)=0 2) Пусть Mm Т.к. по условиям теоремы f(a) = f(b) свое наименьшее или наибольшее значение ф-я будет принимать не на концах отрезка, а будет принимать M или m во внутренней точке этого отрезка. Тогда по теореме Ферма f’(c)=0. 21. Теорема ЛагранжаПусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на интервале [a;b] 2) Существует конечная производная, по крайней мере, в открытом интервале (a;b). Тогда между a и b найдется такая точка с, что для нее выполняется следующее равенство: (f(b)f(a))/(ba)=f’(c), a < c< b Док-во: Введем вспомогательную ф-ю F(x). F(x) = f(x) f(a) [(f(b)f(a))/(ba)]*(xa) Эта ф-я удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: 1) она непрерывна как разность между непрерывной и линейной функциями; 2) в открытом интервале (a;b) существует конечная производная этой ф-ии. F’(x) = f’(x) (f(b)f(a))/(ba) 3) на концах промежутка в точках a и b эта ф-я равна 0 F(a) = f(a) f(a) (f(b)f(a))/(ba)*(а - а) = 0 F(b) = f(b) f(a) (f(b)f(a))/(ba)*(ba) = 0 производная в какой-либо внутренней точке с равна 0. F’(с) = 0 f’(c) (f(b)f(a))/(ba) = 0, отсюда f’(c) = (f(b)f(a))/(ba) Геометрическое истолкование CB/AC = (f(b)f(a))/(ba) На дуге АВ найдется по крайней мере одна точка М, в которой касательная хорде АВ. 22. Теорема Коши (обобщенная теорем о конечных приращениях)Пусть 1) существуют f(x) и g(x), которые непрерывны на [a;b] 2) существует f’(x), g’(x) в (a;b) Между а и b найдется точка с, такая, что выполняется равенство: (f(b)f(a))/(g(b)g(a)) = f’(c)/g’(c), a c b Применив к обеим функциям теорему Лагранжа и разделив полученные равенства, получим требуемое. 23. Свойства выпуклости (вогнутости).График ф-ии яв-ся выпуклым на некот промеж, если все его точки леж. ниже люб касат, провед к этой кривой. Вогнутый - наоборот. f”(x)0 f”(x)0 Точка перегиба – точка, отделяющ выпук часть непрер прямой от вогнутой части. Необходимое условие - чтобы f”(x1)=0 Достаточное условие - смена знака второй производной при переходе через эту точку. 3. Интегральное исчисление функций одной переменной.1. Первообразная.Ф-я F(x) называется первообразной ф-и f(x) на множестве D, если для любого х из D:F’(x)=f(x). Если F(x) первообрзная ф-и f(x) на мн-ве D, то любую другую первообразную этой ф-и можно получить по формуле: Ф(х)=F(x)+c при некотором значение с. Док-во. Пусть F(x) – первообразная f(x), x принадлежит D:F’(x)=f(x). Пусть Ф(х) – другая первообразная f(x), x принадл. D: Ф’(x)=f(x). Составим ф-ю φ(х)=Ф(х)-F(х) – дифференцируема на мн-ве D → φ'(х)= Ф’(х)-F’(х)=f(x)-f(x)=0. По св-м ф-и, дифференцируемой на D → φ(х)=соnst.=c → Ф(х)-F(х)=с=const → Ф(х)=F(х)+с, что и т.д. |