Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
Скачать 0.69 Mb.
|
2. Неопределенный интеграл и его св-ва.Опр. Совокупность всех первообразных для ф-и f(x) на множестве наз. Неопределенным интегралом этой функции. ∫f(x)dx=F(x)+c, f(x)-подинтегральная ф-я ,f(x)dx – подинтегральное выражение. Свойства. 1)[f(x)dx]’=f(x) док-во: ∫f(x)dx=F(x)+c(по опр.), (∫f(x)dx)’= (F(x)+c)’=F’(x)=f(x) 2) d[f(x)dx] = f(x)dx док-во: по опр. дифференциала: d[f(x)dx] = (f(x)dx)’dx=f(x)dx 3)∫dF(x)=F(x) +c док-во: ∫dF(x)=∫F’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+c. 4)Постоянный множитель можно выносить за знак неопред. Интеграла: ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx ,x є D, k є R. док-во: покажем, что k∫f(x)dx – совокупность первообразных для ф-и k*f(x): По св-ву производной: (k∫f(x)dx)’=k*(∫f(x)dx)’=k*f(x). 5)∫[f(x)+(-)g(x)]dx = ∫f(x)dx +(-)∫g(x)dx/ Док-во: докажем, что ∫f(x)dx +(-)∫g(x)dx – первообразная для ф-и [f(x)+(-)g(x)]: По св-ву производной: [f(x)+(-)g(x)]’= [∫f(x)dx]’ +(-)[∫g(x)dx]’= f(x)+(-)g(x), что и т.д. 3 Табличные интегралы.Таблица интегралов
≠ -1 14) ∫ctgxdx = ln |sinx| + C
20) ∫(√x2+A)dx = (x/2)(√x2+A) + (A/2) ln |x+(√x2+A)|+C
21) ∫ (√a2- x2)dx = (a2/2) arcsin x/a + (x/2) (√a2- x2) + C 4. Метод замены переменной или метод подстановки∫f(x)dx, x D Пусть x = φ(t), t T, φ(t) – дифференцируема на T и имеет обратную функцию Докажем, что ∫ f(x)dx = ∫f(φ(t)) • φ’(t)dt, т. е. докажем, что ∫f(x)dx – первообразная f(φ(t))•φ’(t) (∫f(x)dx)t’(по правилу дифференцирования сложной функции) = (∫f(x)dx)x’ • x’t = f(x)•φ’(t) = f(φ(t))•φ’(t) ∫ f(x)dx = ∫f(φ(t)) • φ’(t)dt – формула замены переменной в неопределенном интеграле 5. Метод интегрирования по частямПусть u = u(x), v = v(x) – дифференцируемы на D d(u•v) = du•v + u•dv ∫ d(u•v) = ∫du•v + ∫u•dv u•v = ∫v•du + ∫u•dv ∫u•dv = u•v - ∫v•du – формула интегрирования по частям Применение данной формулы: 1. Pn (x)•φ(x)dx; Pn (x) – многочлен n-ой степени а) φ(x) = sin ax u = Pn (x); dv = φ(x)dx cos ax eKx b) φ(x) = обратные тригонометрические функции u = φ(x); dv = Pn (x)dx logax 2. ekx•sin ax dx в этом случае любой из множителей можно принять ekx•cos ax dx за u 5. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций.(конкретные числовые примеры по данному вопросу см. в лекции за 21.03.00) Рассмотрим интегал вида R(x)dx, где R(x) – рациональная функция, т.е функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов R(x)=P(x)/Q(x). Если эта дробь неправильная, то можно выполнить деление с остатком и представить R(x) в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби. Теорема. Всякая правильная дробь может быть представлена как сумма простейших дробей вида A ; A ; Mx+N ; Mx+N . x-a (x-a)n x2+px+q (x2+px+q)n , где A,M,N,a,p,q – действительные числа. Непростейшие дроби. Лемма 1. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если х=а- корень Q(x) кратности К,т.е. Q(x)=(x-a)K*Q1(x), где Q1(a) не равно нулю, то F(x)= AK+ F1(x) Q(x) (x-a)K Q1(x)*(x-a)K-1 Лемма 2. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если Q(x)=(x2+px+q)K*Q1(x) F(x) =MKx+NK+ F1(x) . Q(x) (x2+px+q)K (x2+px+q)K-1*Q1(x) Теорема разложения правилоной дроби на простейшие. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если Q(x)=(x-a)(x-b)*…*(x-c)(x2+p1x+q1)K*…*(x2+p2x+q2)m эта дробь разлагается в сумму простейших дробей следующего вида: F(x) = A+ A-1+…+ A1+ B+ B-1+…+ B1+ C+ C-1+…+ C1+ Q(x) (x-a) (x-a) -1 x-a (x-b) (x-b) -1 x-b (x-c) (x-c) -1 x-c + MKx+NK + MK-1x+NK-1+…+ M1x+N1+ Cmx+Dm + Cm-1x+Dm-1+…+ C1x+D1 (x2+p1x+q1)K (x2+p1x+q1)K-1 x2+p1x+q1 (x2+p2x+q2)m (x2+p2x+q2)m-1 x2+p2x+q2 Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций. Трансцендентная функция – аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. (Например, показательная функция тригонометрической функции.) R(x,xm1/n1,…xmk/nk)dx, где R – рациональная функция от х и её дробных степеней. Такой интеграл может быть решён с помощью замены степени с дробным показателем на степень функции с целым показателем. (подробнее см. в лекциях) . R(x,Ax2+Bx+C )dx Под корнем выделяется полный квадрат и решается с помощью замены переменной. . . dx/ Ax2+Bx+C , Ax2+Bx+C dx |