Главная страница

Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз


Скачать 0.69 Mb.
Название1. Функция, одз
АнкорШпоры по матану(1 курс).doc
Дата25.03.2018
Размер0.69 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаШпоры по матану(1 курс).doc
ТипДокументы
#17195
страница11 из 33
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   33

2. Неопределенный интеграл и его св-ва.


Опр. Совокупность всех первообразных для ф-и f(x) на множестве наз. Неопределенным интегралом этой функции. ∫f(x)dx=F(x)+c, f(x)-подинтегральная ф-я ,f(x)dx – подинтегральное выражение.

Свойства.

1)[f(x)dx]’=f(x)

док-во: ∫f(x)dx=F(x)+c(по опр.), (∫f(x)dx)’= (F(x)+c)’=F’(x)=f(x)

2) d[f(x)dx] = f(x)dx

док-во: по опр. дифференциала: d[f(x)dx] = (f(x)dx)’dx=f(x)dx

3)∫dF(x)=F(x) +c

док-во: ∫dF(x)=∫F’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+c.

4)Постоянный множитель можно выносить за знак неопред. Интеграла:

∫kf(x)dx=k∫f(x)dx ,x є D, k є R.

док-во: покажем, что k∫f(x)dx – совокупность первообразных для ф-и k*f(x):

По св-ву производной: (k∫f(x)dx)’=k*(∫f(x)dx)’=k*f(x).

5)∫[f(x)+(-)g(x)]dx = ∫f(x)dx +(-)∫g(x)dx/

Док-во: докажем, что ∫f(x)dx +(-)∫g(x)dx – первообразная для ф-и [f(x)+(-)g(x)]:

По св-ву производной: [f(x)+(-)g(x)]’= [∫f(x)dx]’ +(-)[∫g(x)dx]’= f(x)+(-)g(x), что и т.д.

3 Табличные интегралы.

Таблица интегралов

  1. ∫ 0 dx = C = const 11) ∫dx/(√1-x2 )= arcsin x + C = - arccos x + C

  2. ∫dx = x + C 12) ∫dx/(1+x2) = arctg x + C = - arcctg x + C

  3. ∫xdx = x+1/(+1) + C, 13) ∫tgxdx = - ln |cosx| + C

≠ -1 14) ∫ctgxdx = ln |sinx| + C

  1. ∫dx/x = ln|x| + C 15) ∫ dx/(√a2- x2)=arcsinx/a +C=-arccos x/a + C

  2. ∫exdx = ex + C 16) ∫dx/(a2+x2) = (1/a)arctg x/a + C=-(1/a)arcctg x/a + C

  3. ∫axdx = ax/lnx + C 17) ∫dx/(x2–a2) = (1/2a) ln |(x-a)/(x+a)| + C

  4. ∫cosx dx = sinx + C 18) ∫dx/(a2-x2) = (1/2a) ln |(x+a)/(x-a)| + C

  5. ∫sinxdx = - cosx + C 19) ∫dx/(√x2+A) = ln |x + (√x2+A)| + C

  6. ∫dx/cos2x = tgx + C

20) ∫(√x2+A)dx = (x/2)(√x2+A) + (A/2) ln |x+(√x2+A)|+C

  1. ∫dx/sin2x = - ctgx + C

21) ∫ (√a2- x2)dx = (a2/2) arcsin x/a + (x/2) (√a2- x2) + C

4. Метод замены переменной или метод подстановки


∫f(x)dx, x  D

Пусть x = φ(t), t  T, φ(t) – дифференцируема на T и имеет обратную функцию

Докажем, что ∫ f(x)dx = ∫f(φ(t)) • φ’(t)dt, т. е. докажем, что ∫f(x)dx – первообразная f(φ(t))•φ’(t)

(∫f(x)dx)t’(по правилу дифференцирования сложной функции) = (∫f(x)dx)x’ • x’t = f(x)•φ’(t) = f(φ(t))•φ’(t)

∫ f(x)dx = ∫f(φ(t)) • φ’(t)dt – формула замены переменной в неопределенном интеграле

5. Метод интегрирования по частям


Пусть u = u(x), v = v(x) – дифференцируемы на D

d(u•v) = du•v + u•dv  ∫ d(u•v) = ∫du•v + ∫u•dv  u•v = ∫v•du + ∫u•dv 

∫u•dv = u•v - ∫v•du – формула интегрирования по частям

Применение данной формулы:

1. Pn (x)•φ(x)dx; Pn (x) – многочлен n-ой степени

а) φ(x) = sin ax u = Pn (x); dv = φ(x)dx

cos ax

eKx

b) φ(x) = обратные тригонометрические функции u = φ(x); dv = Pn (x)dx

logax
2. ekx•sin ax dx в этом случае любой из множителей можно принять

ekx•cos ax dx за u

5. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций.


(конкретные числовые примеры по данному вопросу см. в лекции за 21.03.00)

Рассмотрим интегал вида R(x)dx, где R(x) – рациональная функция, т.е функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов R(x)=P(x)/Q(x). Если эта дробь неправильная, то можно выполнить деление с остатком и представить R(x) в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби.

Теорема. Всякая правильная дробь может быть представлена как сумма простейших дробей вида

A ; A ; Mx+N ; Mx+N .

x-a (x-a)n x2+px+q (x2+px+q)n

, где A,M,N,a,p,q – действительные числа.

Непростейшие дроби.

Лемма 1. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если х=а- корень Q(x) кратности К,т.е. Q(x)=(x-a)K*Q1(x), где Q1(a) не равно нулю, то F(x)= AK+ F1(x)

Q(x) (x-a)K Q1(x)*(x-a)K-1

Лемма 2. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если Q(x)=(x2+px+q)K*Q1(x) 

F(x) =MKx+NK+ F1(x) .

Q(x) (x2+px+q)K (x2+px+q)K-1*Q1(x)

Теорема разложения правилоной дроби на простейшие. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если Q(x)=(x-a)(x-b)**(x-c)(x2+p1x+q1)K**(x2+p2x+q2)m  эта дробь разлагается в сумму простейших дробей следующего вида:

F(x) = A+ A-1+…+ A1+ B+ B-1+…+ B1+ C+ C-1+…+ C1+

Q(x) (x-a) (x-a) -1 x-a (x-b) (x-b) -1 x-b (x-c) (x-c) -1 x-c

+ MKx+NK + MK-1x+NK-1+…+ M1x+N1+ Cmx+Dm + Cm-1x+Dm-1+…+ C1x+D1

(x2+p1x+q1)K (x2+p1x+q1)K-1 x2+p1x+q1 (x2+p2x+q2)m (x2+p2x+q2)m-1 x2+p2x+q2

Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.

Трансцендентная функция – аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. (Например, показательная функция тригонометрической функции.)

R(x,xm1/n1,…xmk/nk)dx, где R – рациональная функция от х и её дробных степеней. Такой интеграл может быть решён с помощью замены степени с дробным показателем на степень функции с целым показателем. (подробнее см. в лекциях)

.

R(x,Ax2+Bx+C )dx Под корнем выделяется полный квадрат и решается с помощью замены переменной.

. .

dx/ Ax2+Bx+C ,  Ax2+Bx+C dx
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   33


написать администратору сайта