Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
Скачать 0.69 Mb.
|
13. Множители Лагранжа и теорема Куна-Таккера.рассмотрим следующую задачу, называемую задачей вогнутого программирования: найти точку глобального максимума вогнутой функции f(x) на выпуклом множестве Р Rn , заданном системой неравенств: g1(x)0, ………. g s(x)0 g s(x)0 x где g1(х),…, g s(x) – вогнутые функции. для решения вводят функцию Лагранжа F(x,)=f(x)+ g1(x)… s g s(x), где =(,…, s) – вектор множителей Лагранжа. Предположим, что все функции дифференциируемы и существует точка х0, для которой все тривиальные неравенства из системы уравнений строгие. Точка х*0 является точкой глобального максимума f(x) на Р в том случае, когда существует вектор *=(*,…,*s)0, такой, что выполняются условия: gradxF(x*, *); (gradxF(x*, *);х*)= gradF(x*, *) (gradF(x*, *);*)= Эти условия означают, что точка (x*, *) является седловой точкой функции F(x, ), т.е. F(x, *) F(x*, *) F(x*, ) 5. Числове и функциональные ряды.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.Числовым рядом наз-ся бесконечная последовательность чисел, соединенная знаком сложения: а1+а2+…+ак +…=∑к=1∞ак. Где а1,…,ак- члены числового ряда Введем след. Обозначения: Sк = ∑к=1каi = а1+а2+…+ак - n-ая частичная сумма числового ряда: к=1, то Sк=а1,к=2, то Sк=а1+а2,…к: Sк = а1+а2+…+ак, т.е. видно, что частичная сумма образует числ. Последовательность. Числ ряд наз сходящимся, и его сумма в этом случае будет равна S, если сущ-т конечные предел последовательности частичных сумм, котрый равен S: LimSk=S, k→∞. В противном случае числ ряд расходится. Св-ва сходящихся числ. Рядов. Рассмотрим 2 числ ряда: а1+а2+…+ак +…=∑к=1∞ак. (1) в1+в2+…+вк +…=∑к=1∞вк ( 2) Опр. 1).Суммой этих рядов наз ряд. Каждый член которого равен сумме соответствующих членов рядов (1) и (2). 2) Ряд , каждый член которого равен произведению соответствующего члена ряда (1) на одно и то же действительное число, наз произведением ряда на действительное число λ. Св-ва. 1)Если ряд (2) сходится, и его сумма равна S, тогда произведение этого ряда на действительное число также сходится, и его сумма будет равна λS. Док-во: Пусть Sk- частичная сумма ряда (2), sk - частичная сумма ряда λ в1+ λ в2+…+λ вк +…, ясно, что λ Sk = sk. Переходя к пределу, получим: Lim sk=lim λSk= λlimSk= λS(k→∞) 2)Если ряды (1) и (2) сходятся, и их суммы соответственно равны S, S’, то ряд из определения 1) (назовем его (3)) также сходится, а его сумма будет равна S+S’. Док-во: Qk=Sk+Tk, где Qk, Sk,Tk – сответственно частич суммы рядо (1), (2), (3). Переходя к пределу при k→∞, получаем, что сущ-т LimQk и Q=S+T 3)Если ряд сходится, то ряд, полученный из данного путем отбрасывания или приписывания конечного числа членов также сходится. Док-во: Рассмотрим, когда отбрасывают первые n членов. Оставшийся ряд аn+1 +аn+2+… наз остатком исходного ряда (1). Пусть Сn- сумма первых n членов, Sk -частичная сумма исх. Ряда,S’k - частичная сумма остатка, при k>n: Sk = Cn+S’k Если сущ-т предел lim Sk k→∞, то сущ-т и предел lim S’k и наоборот. В частности, выполняется равенство: S=S’+Cn 4)Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд. Полученный из него группировкой слагаемых, причем суммы обоих рядов одинаковы. Необходимое усл-е сходимости. Теорема. Если ряд (1) сходится, то предел его общего члена при к →∞ равен 0. lim ak=0 Док-во. 1){Sk=a1+a2+…+ak {Sk-1=a1+a2+…+ak-1, значит ак=Sk-Sk-1 2)Поскольку ряд сходится, то lim Sk = S, k→∞ 3) k→∞: lim ak= lim Sk- lim Sk-1 = S- lim Sk-1= S-S=0 ((k-1)→∞) Следствие: если lim ak≠0 или не сущ-т, то ряд расходится. Сформулированный признак явл. необходимым усл-м и не явл достаточным, чтобы ряд сходился. 2 Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости (сравнения, Даламбера, интегральный)Пусть a1 + a2 + … + an + = n=1 an = Sn – числовой ряд, каждый член которого положителен. Такой ряд называется рядом с положительными членами или просто положительным числовым рядом. S1 = a1 > 0, S2 = a1 + a2> 0, {Sn}- возрастающая числовая последовательность Признаки сходимости положительных числовых рядов. Для того, чтобы положительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частных сумм была ограничена. |