Главная страница

Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз


Скачать 0.69 Mb.
Название1. Функция, одз
АнкорШпоры по матану(1 курс).doc
Дата25.03.2018
Размер0.69 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаШпоры по матану(1 курс).doc
ТипДокументы
#17195
страница20 из 33
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   33

Признаки сравнения


Пусть заданы два положительных числовых ряда:

u1 + u2 + … + un + = n=1 un , un > 0 для  n

v1 + v2 + … + vn + = n=1 vn , vn > 0 для  n

1) Если n  N: un  vn и ряд n=1 vn – сходится, то и ряд n=1 un – сходится.

Если n  N: un  vn и ряд n=1 un – расходится, то и ряд n=1 vn – расходится.

2) Если  lim un/vn = k, то ряды либо одновременно сходятся, либо

n k = const

одновременно расходятся.
Признак сходимости Даламбера.

Если n=1 un – положительный ряд, для которого lim un+1/un = L, то

n

  1. при L < 1 ряд сходится

  2. при L > 1 ряд расходится

  3. при L = 1 необходимы дополнительные исследования.


Интегральный признак сходимости.

Теорема. Пусть n=1un - положительный ряд, для которого 1) un= f(n); 2) y = f(x) определена для  x  1, непрерывна и возрастает, тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл 1+f(x)dx, причем если он сходится , то

n=1 un = 1+f(x)dx

3 Знакопеременные ряды, ряды с комплексными числами.


Знакочередующиеся ряды – ряды, члены которых имеют чередующие знаки.

Теорема Лейбница Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремяться к нулю, когда n,то 1) ряд сходится; 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.

Доказательство.

Пусть дан ряд а1234+…+(-1)n-1аn+… и известно, что аn>an+1 для всех n и an0 при n.Рассмотрим частичную сумму ряда с чётным числом членов S2n= а1234+…+a2n-1-a2n= (а12)+(а34)+…+(a2n-1-a2n). В силу первого условия все разности в скобках положительны, поэтому последовательность частичных сумм {S2n} является возрастающей. Докажем, что она является ограниченной. Для этого представим S2n в виде

S2n= а1-[(а23)+(а45)+…+(а2т-1-a2n-1)+a2n]. Вы ражение в квадратных скобках положительно, поэтому S2n1 для любого n, т.е. последовательность {Sn} ограничена.

Итак, последовательность {Sn} возрастающая и ограниченная, следовательно, она имеет предел lim S2n=S. Так как S2n+1=S2n+a2n+1, и по

n

условию lim a2n+1=0, то lim S2n+1=limS2n=S.

n n n

Мы доказали, что ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравентвам 01. Докажем теперь второе утверждение. Рассмотрим остаток ряда а1234+…+(-1)n-1аn+… с чётным номером 2k: R2k=a2k+1- a2k+2+… Этот ряд является знакочередующимся и он удовлетворяет всем условиям теоремы, поэтому выполняются оценки 02k2k+1. Что касается остатков ряда с нечётными номерами, то любой из них можно записать в виде

R2k+1= -a2k+2+a2k+3-…=-(a2k+2-a2k+3+…). Ряд в скобках снова удовлетворяет условиям теоремы, поэтому 0<-R2k+12k+2 или -a2k+2< R2k+1<0. Сходимость ряда вместе с неравенствами 01, 02k2k+1 и -a2k+2< R2k+1<0 полностью доказывает теорему.
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   33


написать администратору сайта