|
Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
Признаки сравнения Пусть заданы два положительных числовых ряда:
u1 + u2 + … + un + = n=1 un , un > 0 для n
v1 + v2 + … + vn + = n=1 vn , vn > 0 для n
1) Если n N: un vn и ряд n=1 vn – сходится, то и ряд n=1 un – сходится.
Если n N: un vn и ряд n=1 un – расходится, то и ряд n=1 vn – расходится.
2) Если lim un/vn = k, то ряды либо одновременно сходятся, либо
n k = const
одновременно расходятся. Признак сходимости Даламбера.
Если n=1 un – положительный ряд, для которого lim un+1/un = L, то
n
при L < 1 ряд сходится
при L > 1 ряд расходится
при L = 1 необходимы дополнительные исследования.
Интегральный признак сходимости.
Теорема. Пусть n=1un - положительный ряд, для которого 1) un= f(n); 2) y = f(x) определена для x 1, непрерывна и возрастает, тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл 1∫+f(x)dx, причем если он сходится , то
n=1 un = 1∫+f(x)dx
3 Знакопеременные ряды, ряды с комплексными числами. Знакочередующиеся ряды – ряды, члены которых имеют чередующие знаки.
Теорема Лейбница Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремяться к нулю, когда n,то 1) ряд сходится; 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.
Доказательство.
Пусть дан ряд а1-а2+а3-а4+…+(-1)n-1аn+… и известно, что аn>an+1 для всех n и an0 при n.Рассмотрим частичную сумму ряда с чётным числом членов S2n= а1-а2+а3-а4+…+a2n-1-a2n= (а1-а2)+(а3-а4)+…+(a2n-1-a2n). В силу первого условия все разности в скобках положительны, поэтому последовательность частичных сумм {S2n} является возрастающей. Докажем, что она является ограниченной. Для этого представим S2n в виде
S2n= а1-[(а2-а3)+(а4-а5)+…+(а2т-1-a2n-1)+a2n]. Вы ражение в квадратных скобках положительно, поэтому S2n1 для любого n, т.е. последовательность {Sn} ограничена.
Итак, последовательность {Sn} возрастающая и ограниченная, следовательно, она имеет предел lim S2n=S. Так как S2n+1=S2n+a2n+1, и по
n
условию lim a2n+1=0, то lim S2n+1=limS2n=S.
n n n
Мы доказали, что ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравентвам 01. Докажем теперь второе утверждение. Рассмотрим остаток ряда а1-а2+а3-а4+…+(-1)n-1аn+… с чётным номером 2k: R2k=a2k+1- a2k+2+… Этот ряд является знакочередующимся и он удовлетворяет всем условиям теоремы, поэтому выполняются оценки 02k2k+1. Что касается остатков ряда с нечётными номерами, то любой из них можно записать в виде
R2k+1= -a2k+2+a2k+3-…=-(a2k+2-a2k+3+…). Ряд в скобках снова удовлетворяет условиям теоремы, поэтому 0<-R2k+12k+2 или -a2k+2< R2k+1<0. Сходимость ряда вместе с неравенствами 01, 02k2k+1 и -a2k+2< R2k+1<0 полностью доказывает теорему. 0> |
|
|