Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
Скачать 0.69 Mb.
|
9 Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.Точка М0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x,y), если существует такая окрестность точки М0, в которой для любой точки М(х,у) выполняется неравенство f(M)f(M0) (f(M)f(M0)). Точки локального экстремума называются просто точками экстремума. Необходимое условие существования экстремума.Если функция f(x,y) имеет частные производные первого порядка в точке локального экстремума М0(х0,у0), то fx(M0)=fy(M0)=0. Доказательство.Рассмотрим сначала функцию одной переменной f(x,y0). Производная этой функции совпадает с частной производной fx(x,y0), а сама функция имеет локальный экстремум в точке х0. Следовательно, производная функция f(x,y0) в точке х0 равна нулю, т.е. fх(x,y0)=0. Аналогично функция от одной переменной f(x,y0) имеет локальный экстремум в точке у=у0. Следовательно, её производная в этой точке равна нулю, т.е. fу(x,y0)=0. Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, но не достаточное условие существования экстремум. Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называют критическими точками. Достаточное условие существования экстремума. Пусть функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности стационарной точки М0(x0,y0). Положим = fxx(M0)fyy(M0) – (fxy(M0)2. тогда :
(в лекциях 2-го семестра доказательства не приводилось, если есть большая тяга к знаниям, то см учебник стр 182-185). 10. Наибольшее и наименьшее значения функции на ограниченном замкнутом множестве.Схема исследования функции на экстремум.
Теорема Вейерштрасса.Если функция z=f(x,y) непрерывна на замкнутом, ограниченном множестве, то на этом множестве функция принимает наибольшее и наименьшее значение. Правило нахождения максимума и минимума для функции от двух переменных.
11. Метод наименьших квадратов.(рассмотрим для двух величин, остальные аналогично0Пусть (Х,У) – система двух случайных величин. Задача – исследовать связь между Х и У. М(У/Х=х) – условные математические ожидания случайной величины У при условии, что Х=х (х – фиксированное число) М(У/Х=х)=f(x). Уравнение y=f(x) называется уравнением регрессии СВ У на СВ Ч. Будем приближать функцию y=f(x) к прямой y=kx+b, т.е. попытаемся подобрать k,b так, чтобы y=kx+b как можно лучше апроксимировать функцию y=f(x). В качестве прямой y=kx+b предлагается выбрать ту, на которую лучше всего «ложаться» экспериментальные точки. у1=kx1+b Е21= (y1-(kx1+b))2 характеризует степень удалённости точки (х1,у1) от прямой y=kx+b Е22= (y2-(kx2+b))2 и т.д. Естественный критерий, характеризующий близость всей совокупности точек к прямой y=kx+b К=ni=1E2i . К=к(к,b) – функция двух переменных. Найдём такие к*,b*, которые минимизируют значение К. К(к,b)= ni=1(yi-(kxi+b))2 Необходимое условие экстремума. К/к=0; К/b=0 К/к=ni=12(yi-(kxi+b))(-хi)=0 kni=1 хi2+bni=1 хi =ni=1 хi yi ; К/b=ni=12(yi-(kxi+b))(-1)=0 ni=1 yi -kni=1 хi-nb=0. kni=1 хi2+bni=1 хi =ni=1 хi yi kni=1 хi+nb=ni=1 yi cистема двух линейных уравнений с двумя неизвестными к и b. 0> |