Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз

• Название: 1. Функция, одз
• Анкор: Шпоры по матану(1 курс).doc
• Дата: 25.03.2018
• Размер: 0.69 Mb.
• Имя файла: Шпоры по матану(1 курс).doc
• Тип: Документы; #17195
• страница: 17 из 33

9 Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

Точка М₀ называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x,y), если существует такая окрестность точки М₀, в которой для любой точки М(х,у) выполняется неравенство f(M)f(M₀) (f(M)f(M₀)).

Точки локального экстремума называются просто точками экстремума.

Необходимое условие существования экстремума.Если функция f(x,y) имеет частные производные первого порядка в точке локального экстремума М₀(х₀,у₀), то f_x(M₀)=f_y(M₀)=0.

Доказательство.Рассмотрим сначала функцию одной переменной f(x,y₀). Производная этой функции совпадает с частной производной f_x(x,y₀), а сама функция имеет локальный экстремум в точке х₀. Следовательно, производная функция f(x,y₀) в точке х₀ равна нулю, т.е. f_х(x,y₀)=0. Аналогично функция от одной переменной f(x,y₀) имеет локальный экстремум в точке у=у₀. Следовательно, её производная в этой точке равна нулю, т.е. f_у(x,y₀)=0.

Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, но не достаточное условие существования экстремум.

Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называют критическими точками.

Достаточное условие существования экстремума. Пусть функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности стационарной точки М₀(x₀,y₀). Положим = f_xx(M₀)f_yy(M₀) – (f_xy(M₀)². тогда :

1. 
   если >0, то в точке М₀ функция имеет локальный экстремум, причём f_xx(M₀)<0 – локальный максимум, при f_xx(M₀)>0 – локальный минимум;
   
2. 
   если <0, то в точке М₀ нет экстремума.
   
3. 
   если =0, то требуются дополнительные исследования.
   

(в лекциях 2-го семестра доказательства не приводилось, если есть большая тяга к знаниям, то см учебник стр 182-185).

10. Наибольшее и наименьшее значения функции на ограниченном замкнутом множестве.

Схема исследования функции на экстремум.

1. 
   z_x, z_y
   
2. 
   Найти критические точки. z_x=0, z_y=0
   
3. 
   Взять производные z_xx,z_yy,z_xy,z_yx.
   
4. 
   C помощью условия существования экстремум сделать вывод.
   

Теорема Вейерштрасса.Если функция z=f(x,y) непрерывна на замкнутом, ограниченном множестве, то на этом множестве функция принимает наибольшее и наименьшее значение.
Правило нахождения максимума и минимума для функции от двух переменных.

1. 
   Найти ОДЗ и обедиться, что оно замкнутое и ограниченное.
   
2. 
   Исследовать на экстремум, вычислить значение функции.
   
3. 
   Вычислить значения функции на границах ОДЗ.
   
4. 
   Из всех значений выбрать наибольшее и наименьшее.
   

11. Метод наименьших квадратов.

(рассмотрим для двух величин, остальные аналогично0Пусть (Х,У) – система двух случайных величин. Задача – исследовать связь между Х и У.

М(У/Х=х) – условные математические ожидания случайной величины У при условии, что Х=х (х – фиксированное число) М(У/Х=х)=f(x). Уравнение y=f(x) называется уравнением регрессии СВ У на СВ Ч. Будем приближать функцию y=f(x) к прямой y=kx+b, т.е. попытаемся подобрать k,b так, чтобы y=kx+b как можно лучше апроксимировать функцию y=f(x). В качестве прямой y=kx+b предлагается выбрать ту, на которую лучше всего «ложаться» экспериментальные точки. у₁=kx₁+b  Е²₁= (y₁-(kx₁+b))² характеризует степень удалённости точки (х₁,у₁) от прямой y=kx+b Е²₂= (y₂-(kx₂+b))² и т.д. Естественный критерий, характеризующий близость всей совокупности точек к прямой y=kx+b К=ⁿ_i=1E²_i . К=к(к,b) – функция двух переменных. Найдём такие к^*,b^*, которые минимизируют значение К.

К(к,b)= ⁿ_i=1(y_i-(kx_i+b))² Необходимое условие экстремума. К/к=0; К/b=0

К/к=ⁿ_i=12(y_i-(kx_i+b))(-х_i)=0

kⁿ_i=1 х_i²+bⁿ_i=1 х_i =ⁿ_i=1 х_i y_i ;

К/b=ⁿ_i=12(y_i-(kx_i+b))(-1)=0

ⁿ_i=1 y_i -kⁿ_i=1 х_i-nb=0.

_^ kⁿ_i=1 х_i²+bⁿ_i=1 х_i =ⁿ_i=1 х_i y_i

 kⁿ_i=1 х_i+nb=ⁿ_i=1 y_i

cистема двух линейных уравнений с двумя неизвестными к и b.