Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз

• Название: 1. Функция, одз
• Анкор: Шпоры по матану(1 курс).doc
• Дата: 25.03.2018
• Размер: 0.69 Mb.
• Имя файла: Шпоры по матану(1 курс).doc
• Тип: Документы; #17195
• страница: 14 из 33

2 Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращения функции к приращению соответствующией независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.

Величина z=f(x₀+x,y₀+y)-f(x₀,y₀) (одновременное изменение величин х и у) называется полным приращением функции z в точке (x₀,y₀).Так же, как и в случае одной переменной возникает задача о приближённой замене приращения z( которая, как правило, является нелинейной функцией от х и у) на линейную функцию от х и у. Роль линейного приближения выполняет полный дифференциал функции, который определяется как сумма произведений частных производных функций на приращения независимых переменных. Так, в случае функции от двух переменных полный дифференциал определяется равенством dz=z_xx+z_yy. Следует помнить, что в различных точках (х₀, у₀) дифференциал будет различным.

Функция называется дифференцируемой в точке (х₀, у₀), если её полное приращение можно представить в виде z=f(x,y)- f(х₀, у₀)=f_x(х₀, у₀)x+f_y(х₀, у₀)y+p или, короче, z=dz+p, где =(х, у) – функция бесконечно малая при х 0,у0;

Геометрический смысл.

_.

р=(х)²+(у)² - расстояние от точки (х,у) до точки (х₀,у₀).

Дифференцируемость функции z=f(z,y) в точке (х₀,у₀) предполагает наличие производных z_x и z_y в этой точке. Поэтому, если хотя бы одна из указанных производных не существует , то функция не является дифференцируемой в точке (х₀,у₀).

Запишем линейный аналог уравнения, отбросив слагаемое р:

z-f(х₀,у₀)=f_x(х₀,у₀)(x-x₀)+f_y(х₀,у₀)(y-y₀). Это уравнение в коотдинатах x,y,z задаёт плоскость, которая называется касательной плоскостью к графику функции f(x,y) в точке (М(х₀,у₀), f(х₀,у₀)).

(можно доказать, что для любой последовательности точек {N_1,N₂,…}, принадлежащих графику функции z=f(x,y) ( и отличных от М), угол между прямой MN₁ и касательной плоскостью стремится к нулю.
(Теорема Если функция z=f(x) дифференцируема в точке (х₀,у₀), то она непрерывна в этой точке.)

3. Производная по направлению. Градиент.

Пусть l=(l_x;l_y) – произвольный единичный вектор, т.е. такой вектор, что

.

|l|=l_x²+l_y²=1

Производной функции f(x,y) в точке (х₀,у₀) по направлению вектора l называется предел df(х₀,у₀)=lim f(х₀+tl_x,у₀+tl_y)- f(х₀,у₀)

dl ^t0+0 t

Говорят также, что df(х₀,у₀)/dl – это скорость изменения функции в точке (х₀,у₀) в направлении вектора l.

Градиентом функции в точкеМ называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным данной функции в точке М.

Пример для функции от двух перменных. f(x,y) grad f(M)=(f_x(M);f_y(M)).

Градиент можно записать короче. df(M)(grad f(M),l)

dl

где (grad f(M),l) – скалярное произведение векторов.

[(grad f(M),l)=|grad f(M)|*|l|cos, l – единичный вектор] Ни количество аргументов функции f, ни длина вектора l не играет существенного значения при выводе формулы.

Вывод.Градиент указывает направление наискорейшего роста функции, а максимальная скорость роста равна модулю градиента.

4 Однородные функции. Формула Эйлера.

Опр. Пусть D  Rⁿ – область в Rⁿ, содержащая вместе с каждой своей точкой (х₁, х₂,…, х_n) и все точки вида (tх₁, tх₂,…, tх_n) при t >0. Функция f(х₁,…, х_n) c такой областью определения D называется однородной степени , если для любого t >0 выполняется равенство: f (tх₁,…, tх_n)= t^a f(х₁,…, х_n).

Степень однородности  может быть любым действительным числом. Например,
функция является однородной функцией степени 2π от переменных х и у.

Предположим, что дифференцируемая функция f (х, у) является одновременно и и однородной функцией степени . Фиксируя произвольную точку (х, у) для любого t >0, имеем

f (tх, tу)= t^a f(х, у). Продифференцируем левую и правую части этого равенства по t (левую часть - по правилу диф-я сложной функции, правую часть – как степенную функцию). В результате приходим к тождеству:

f '_x (tх, tу)х+f '_y (tх, tу)y = t^a-1 f(х, у)

Положив t=1 , получим формулу Эйлера:

f '_x (х, у)х+f '_y (х, у)y = f(х, у)

Аналогично записывается формула Эйлера для однородной функции от

любого числа аргументов. Например, для функции трех переменных она выглядит следующим образом:

f '_x (х, у,z)х+f '_y (х, у,z)y +f '_z (х, у,z)z = f(х, у, z) или

и '_x x + и '_y y+ и '_z z= и (*)

Предположим, что функция и=f(х, у,z) не обращается в 0 в некоторой точке (х₀, у₀,z₀). Разделив тогда левую и правую части равенства (*) на значение функции в этой точке, получим формулу:

Е их + Е иу + Е иz=

где Е их, Е иу., Е иz – коэффициенты эластичности и по х, по у, поzв точке (х₀, у₀,z₀).