Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
Скачать 0.69 Mb.
|
6. Неявные функцииПусть переменная u, является функцией переменных х1, х2,…, хn, задается посредством функционального уравнения F (х1, х2,…, хn, u) = 0. В этом случае говорят, что u как функция аргументов х1, х2,…, хn задана неявно, а саму функцию u называют неявной функцией. Неявные функции могут задаваться и посредством системы функциональных уравнений. Производная функции y = y(x), заданной неявно уравнением F(x,y) = 0, где F(x, y) – диффиренцируемая функция переменных x и y, может быть вычислена по формуле: y’ = - F’x / F’y При условии, что F’y ≠ 0. Аналогично частные производные неявной функции двух переменных u = (х1, х2), заданной с помощью уравнения F(х1, х2, u) = 0, где F(х1, х2, u) – дифференцируемая функция переменных х1, х2, u могут быть вычислены по формулам: ∂u / ∂x1 = - F’x1 / F’u, ∂u / ∂x2 = - F’x2 / F’u. 7. Теоремы существования решений системы функциональных уравнений.Пусть m функций F1(х1,…, хn , u1,…, um); F2(х1,…, хn , u1,…, um); ……………………… Fm(х1,…, хn , u1,…, um) Дифференцируемы в некоторой окрестности точки = (х10,…, хn0, u10,…, um0) евклидова пространства Rn+m, причем частные производные этих функций по переменным u1,…, um непрерывны в точке . Тогда если все функции F1,…,Fm обращаются в нуль в точке , якобиан D(F1,…,Fm) / D(u1,…,um) отличен от нуля в этой точке, то найдется окрестность точки (х10, х20,…, хn0), в которой существует единственные m функции u1 = f1(х1, х2,…, хn), u2 = f2(х1, х2,…,хn), …, um = fm(х1, х2,…, хn), являющиеся решениями системы F1(х1,…, хn , u1,…, um) = 0; F2(х1,…, хn , u1,…, um) = 0; ……………………… Fm(х1,…, хn , u1,…, um) = 0, Причем это решение непрерывно и дифференцируемо в указанной окрестности точки (х10,…, хn0). При этом ∂fk / ∂xj = - D(F1,…,Fm) / D(u1,…,uk-1, xj, uk+1,…, um) : D(F1,…,Fm) / D(u1,…,um). Выражения для частных производных второго и последующих порядков, при условии их существования, можно получить посредством дифференцирования этих формул. 8. Теоремы существования решений функционального уравнения.Пусть функция F(х1, х2,…, хn , u) непрерывна на области D евклидова пространства Rn+1, F(х10, х20,…, хn 0, u0) = 0; (∂F / ∂u) (х10, х20,…, хn 0, u0) ≠ 0 (точка (х10, х20,…, хn 0, u0) D). Тогда существует окрестность указанной точки, в которой уравнение F(х1,…, хn , u) = 0 однозначно разрешимо, причем решение u = f(х1, х2,…, хn ) непрерывно в этой окрестности. Если, кроме условий, оговоренных выше, функция F дифференцируема в окрестности точки (х10, х20,…, хn 0, u0) и ∂F / ∂u непрерывна в этой точке, то решение u = f(х1, х2,…, хn ) дифференцируемо в окрестности рассматриваемой точки, причем ∂f / ∂xk = - ∂F / ∂xk : ∂F / ∂u, k = 1,2,…,n. Частные производные второго и более высоких порядков, при условии их существования, могут быть найдены посредством дифференцирования формул для частных производных первого порядка. |