Главная страница

Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз


Скачать 0.69 Mb.
Название1. Функция, одз
АнкорШпоры по матану(1 курс).doc
Дата25.03.2018
Размер0.69 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаШпоры по матану(1 курс).doc
ТипДокументы
#17195
страница16 из 33
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   33

6. Неявные функции


Пусть переменная u, является функцией переменных х1, х2,…, хn, задается посредством функционального уравнения F (х1, х2,…, хn, u) = 0. В этом случае говорят, что u как функция аргументов х1, х2,…, хn задана неявно, а саму функцию u называют неявной функцией. Неявные функции могут задаваться и посредством системы функциональных уравнений.

Производная функции y = y(x), заданной неявно уравнением F(x,y) = 0, где F(x, y) – диффиренцируемая функция переменных x и y, может быть вычислена по формуле: y’ = - F’x / F’y

При условии, что F’y ≠ 0.

Аналогично частные производные неявной функции двух переменных u = (х1, х2), заданной с помощью уравнения F(х1, х2, u) = 0, где F(х1, х2, u) – дифференцируемая функция переменных х1, х2, u могут быть вычислены по формулам: ∂u / ∂x1 = - F’x1 / F’u, ∂u / ∂x2 = - F’x2 / F’u.

7. Теоремы существования решений системы функциональных уравнений.


Пусть m функций

F11,…, хn , u1,…, um);

F21,…, хn , u1,…, um);

………………………

Fm1,…, хn , u1,…, um)

Дифференцируемы в некоторой окрестности точки  = (х10,…, хn0, u10,…, um0) евклидова пространства Rn+m, причем частные производные этих функций по переменным u1,…, um непрерывны в точке . Тогда если все функции F1,…,Fm обращаются в нуль в точке , якобиан D(F1,…,Fm) / D(u1,…,um) отличен от нуля в этой точке, то найдется окрестность точки (х10, х20,…, хn0), в которой существует единственные m функции u1 = f11, х2,…, хn), u2 = f21, х2,…,хn), …, um = fm1, х2,…, хn), являющиеся решениями системы

F11,…, хn , u1,…, um) = 0;

F21,…, хn , u1,…, um) = 0;

………………………

Fm1,…, хn , u1,…, um) = 0,

Причем это решение непрерывно и дифференцируемо в указанной окрестности точки (х10,…, хn0). При этом

∂fk / ∂xj = - D(F1,…,Fm) / D(u1,…,uk-1, xj, uk+1,…, um) : D(F1,…,Fm) / D(u1,…,um).

Выражения для частных производных второго и последующих порядков, при условии их существования, можно получить посредством дифференцирования этих формул.

8. Теоремы существования решений функционального уравнения.


Пусть функция F(х1, х2,…, хn , u) непрерывна на области D евклидова пространства Rn+1, F(х10, х20,…, хn 0, u0) = 0; (∂F / ∂u) (х10, х20,…, хn 0, u0) ≠ 0 (точка (х10, х20,…, хn 0, u0)  D). Тогда существует окрестность указанной точки, в которой уравнение F(х1,…, хn , u) = 0 однозначно разрешимо, причем решение u = f(х1, х2,…, хn ) непрерывно в этой окрестности. Если, кроме условий, оговоренных выше, функция F дифференцируема в окрестности точки (х10, х20,…, хn 0, u0) и ∂F / ∂u непрерывна в этой точке, то решение u = f(х1, х2,…, хn ) дифференцируемо в окрестности рассматриваемой точки, причем ∂f / ∂xk = - ∂F / ∂xk : ∂F / ∂u, k = 1,2,…,n.

Частные производные второго и более высоких порядков, при условии их существования, могут быть найдены посредством дифференцирования формул для частных производных первого порядка.

1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   33


написать администратору сайта