Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз

• Название: 1. Функция, одз
• Анкор: Шпоры по матану(1 курс).doc
• Дата: 25.03.2018
• Размер: 0.69 Mb.
• Имя файла: Шпоры по матану(1 курс).doc
• Тип: Документы; #17195
• страница: 16 из 33

6. Неявные функции

Пусть переменная u, является функцией переменных х₁, х₂,…, х_n, задается посредством функционального уравнения F (х₁, х₂,…, х_n, u) = 0. В этом случае говорят, что u как функция аргументов х₁, х₂,…, х_n задана неявно, а саму функцию u называют неявной функцией. Неявные функции могут задаваться и посредством системы функциональных уравнений.

Производная функции y = y(x), заданной неявно уравнением F(x,y) = 0, где F(x, y) – диффиренцируемая функция переменных x и y, может быть вычислена по формуле: y’ = - F’x / F’y

При условии, что F’y ≠ 0.

Аналогично частные производные неявной функции двух переменных u = (х₁, х₂), заданной с помощью уравнения F(х₁, х₂, u) = 0, где F(х₁, х₂, u) – дифференцируемая функция переменных х₁, х₂, u могут быть вычислены по формулам: ∂u / ∂x₁ = - F’x₁ / F’u, ∂u / ∂x₂ = - F’x₂ / F’u.

7. Теоремы существования решений системы функциональных уравнений.

Пусть m функций

F₁(х₁,…, х_n , u₁,…, u_m);

F₂(х₁,…, х_n , u₁,…, u_m);

………………………

F_m(х₁,…, х_n , u₁,…, u_m)

Дифференцируемы в некоторой окрестности точки  = (х₁⁰,…, х_n⁰, u₁⁰,…, u_m⁰) евклидова пространства R^n+m, причем частные производные этих функций по переменным u₁,…, u_m непрерывны в точке . Тогда если все функции F₁,…,F_m обращаются в нуль в точке , якобиан D(F₁,…,F_m) / D(u₁,…,u_m) отличен от нуля в этой точке, то найдется окрестность точки (х₁⁰, х₂⁰,…, х_n⁰), в которой существует единственные m функции u₁ = f₁(х₁, х₂,…, х_n), u₂ = f₂(х₁, х₂,…,х_n), …, u_m = f_m(х₁, х₂,…, х_n), являющиеся решениями системы

F₁(х₁,…, х_n , u₁,…, u_m) = 0;

F₂(х₁,…, х_n , u₁,…, u_m) = 0;

………………………

F_m(х₁,…, х_n , u₁,…, u_m) = 0,

Причем это решение непрерывно и дифференцируемо в указанной окрестности точки (х₁⁰,…, х_n⁰). При этом

∂f_k / ∂x_j = - D(F₁,…,F_m) / D(u₁,…,u_k-1, x_j, u_k+1,…, um) : D(F₁,…,F_m) / D(u₁,…,u_m).

Выражения для частных производных второго и последующих порядков, при условии их существования, можно получить посредством дифференцирования этих формул.

8. Теоремы существования решений функционального уравнения.

Пусть функция F(х₁, х₂,…, х_n , u) непрерывна на области D евклидова пространства Rⁿ⁺¹, F(х₁⁰, х₂⁰,…, х_n ⁰, u⁰) = 0; (∂F / ∂u) (х₁⁰, х₂⁰,…, х_n ⁰, u⁰) ≠ 0 (точка (х₁⁰, х₂⁰,…, х_n ⁰, u⁰)  D). Тогда существует окрестность указанной точки, в которой уравнение F(х₁,…, х_n , u) = 0 однозначно разрешимо, причем решение u = f(х₁, х₂,…, х_n ) непрерывно в этой окрестности. Если, кроме условий, оговоренных выше, функция F дифференцируема в окрестности точки (х₁⁰, х₂⁰,…, х_n ⁰, u⁰) и ∂F / ∂u непрерывна в этой точке, то решение u = f(х₁, х₂,…, х_n ) дифференцируемо в окрестности рассматриваемой точки, причем ∂f / ∂x_k = - ∂F / ∂x_k : ∂F / ∂u, k = 1,2,…,n.

Частные производные второго и более высоких порядков, при условии их существования, могут быть найдены посредством дифференцирования формул для частных производных первого порядка.