Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
 Скачать 0.69 Mb.
|
8. Степенные ряды.Опр. Выражение вида а0+а1х+а2х2+…+акхк+… , (*) где а0, а1,а2,… - некоторая числовая последовательность наз степенным рядом. а0,а1,а2,…- коэффициенты степенного ряда. Если х придавать числовые значения, то будем получать числ. Ряды, которые могут сходиться и расходиться. Множество Х, при которых ряд (*) сходится, называется областью сходимости. 9. Теорема Абеля.1)Если ряд (*) сходится в некоторой точке х0≠0, то этот ряд будет сходится и при всех х, удовлетворяющих условию: |х|<|х0|. 2)Если ряд (*) расходится в т. х1≠0, то этот ряд расходится при всех x: |х|>|х1|. Док-во.1). По усл степенной ряд а0+а1х0+а2х02+…+акх0к+…(**) сходится, поэтому акх0к →0, при к→∞. Значит, сходящаяся последовательность {акх0к} ограничена, т.е. сущ-т константа М такая, что |акх0к| Рассмотрим |а0|+|а1х0|+|а2х02|+…+|акх0к|+….(***) Пусть |х|<|х0|, тогда |акхк|=|акх0к||х/х0|<М|х/х0|к, причем |х/х0|<1. Поэтому члены ряда (***) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда М+М|х/х0|+М|х/х0|2+…+М|х/х0|к+…- суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поэтому ряд (***) сходится, а ряд (**) сходится абсолютно. 2)Предположим, что ряд(**) расходится при х=х1, но для некоторого х:| х |>х1 По первой части теоремы ряд (**) сходится абсолютно при х=х1, следовательно получили противоречие. 10. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.Для степенного ряда (*) возможны только следующие случаи: 1)ряд сходится только в т.х=0 2)ряд сходится при всех х 3)существует такое R>0, что ряд сходится в интервале (-R;R) и расходится вне отрезка [-R;R]. R- радиус сходимости степенного ряда Теорема. Если существует предел D=lim|an+1/an| при n→∞, отличный от 0, то R степенного ряда а0+а1х+а2х2+…+аnхn+…равен: R=1/D= lim|an/an-1| при n→∞. Опр. Пусть ф-я f(x)=Σn=1∞anx, то говорят, что ф-я разлагается в степенной ряд с обл. сходимости(-R;R) 11. Теоремы о св-вах степенных рядов.1. Пусть ф-я f(x) разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд а0+а1х+а2х2+…+аnхn+…(1) . Рассмотрим степенной ряд а1+а2х+…+аnхn-1+…(2), полученный почленным дифференцированием ряда (1). Тогда: ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, Что и (1). На вем интервале (-R;R) ф-я f(x) имеет производную f(x)’, которая разлагается в степенной ряд (2). 2. Если ф-я f(x) разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд, то она интегрируема в этом интервале. Интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда. 12 Разложение ф-й в степенные ряды. Ряд Маклорена.Предположим, что ф-я f(x) разлагается на отрезке [-r;r] в степенной ряд f(x)=а0+а1х+а2х2+…+аnхn +…(1) Найдем а0,а1,а2,… f’(x)=а1+2а2х+3a3х2…+… f’’(x)=2а2+6а3х+4*3a4х2…+… … f(n)(x)=n(n-1)(n-2)*…*1*an+… Полагая, что х=0, получим: f(0)=a0, f’(0)=a1 f’’(0)=2a2,…, f(n)(0)=n!a n Имеем: a n= f(n)(0)/n! Опр. Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки х=0 и имеет в этой точке произволдные всех порядков. Степенной ряд f(0)+ (f’(0)/1!)x+ (f’’(0)/2!)x2+…+(f(n)(0)/n!)xn наз рядом Маклорена для ф-и f(x). Примеры разложений ф-й: ех=1+х+х2/2!+х3/3!+…+хn/n!+… для всех х. Sinx=x- х3/3!+х5/5!+…+(-1)nх2n+1/(2n+1)!+… Cosx=1- х2/2!+х4/4!+…+(-1)nх2n/(2n)!+… Ln(1+x)= x- х2/2+х3/3-…+(-1)nхn+1/(n+1)+… Arctgx= x- х3/3+х5/5+…+(-1)nх2n+1/(2n+1)+… (1+x)a=1+(a/1)x+(a(a-1)/1*2)x2+…+(a(a-1)*…*(a-n+1)/n!)xn+… Ln(1+x)/(1-х)= 2(x+х3/3+х5/5+…) 1/1-х=1+х+х2+х3+… 1/1+х=1-х+х2-х3+… Для натуральных а=м получим бином Ньютона: (1+x)м=1+(м/1)*x+(м(м-1)/1*2)x2+… |