Главная страница

Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз


Скачать 0.69 Mb.
Название1. Функция, одз
АнкорШпоры по матану(1 курс).doc
Дата25.03.2018
Размер0.69 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаШпоры по матану(1 курс).doc
ТипДокументы
#17195
страница21 из 33
1   ...   17   18   19   20   21   22   23   24   ...   33

4. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства.


Пусть дан знакопеременный ряд. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов |a1|+|a2|+…+|an|+… Очевидно, что это ряд с положительными членами.

Ряд называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд составленный из его членов.

Теорема. Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится. Сумма такого ряда равна разности между суммой его плюс-ряда и суммой минус-ряда.

Доказательство.

Пусть ряд а12+…+аn+… сходится абсолютно, т.е. сходится ряд |a1|+|a2|+…+|an|+… Обозначим частичные суммы ряда из модулей его членов через Tn. Имеем Tn= Tn++ Tn- (где Tn+ - некоторая частичная сумма плюс-ряда, Tn- - частичная сумма минус-ряда.) Ввиду сходимоти ряда |a1|+|a2|+…+|an|+…его частичные суммы Tnограничены некоторым числом С. Тогда следует, Tn1+С и Tn2-С, т.е. частичные суммы минус- и плюс-ряда также ограничены сверху числом С. Согласно критерию сходимости рядов с положительными членами отсюда вытекает сходимость плюс- и минус-рядов, т.е. существуют пределы T+=lim T+k и T-=lim T-l. Если теперь

k l

из равенства перейти к пределу при n, то получим limTn=T+-T-, ч.т.д.

l

5. Условно сходящиеся ряды.


Ряд а12+…+аn+… называется условно сходящимся , если он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

(теорема Римана.Если ряд сходится условно, то в результате перестаноски его членов можно получить ряд, имеющий любую сумму, а также расходящийся ряд.)

6. Ряды с комплексными членами. (cо слов Гончаренко)


Комплексное число представляется в виде a+b*i, где а – действительная часть числа, i – мнимая единица (поясняю: мнимая единица – единица, квадрат которой равен «-1»).

Если суммы действительных(аn) и мнимых (bni) частей комплексных чисел сходятся, то сходится и весь ряд комплексных чисел. (аналогичны и остальные определения.)
7
. Свойства правильно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное дифференцирование и интегрирование. (!!предполагается равномерно сход=правильно сход).
Функция S(x) ,х является суммой ряда, если S(x) =lim n→∞ S(x) , где S(x)=f1(x)+f2(x)+…+fn(x)

Если S(x) , хL (LΩ) является суммой ряда f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+…=n=1 fn(x) (функциональный ряд), то говорят, что рядсходится на множестве L функции S(x).

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве L к функции S(x) , если для любого числа  существует номер N такой, что при n cразу для всех хL выполняется неравенство S(x) -Sn (x)

Если функциональный ряд сходится на множестве L , то на этом множестве сходимость не обязана быть равномерной, однако на некотором подмножестве

множества L сходимость может оказаться уже равномерной.

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+… удовлетворяют на множестве L неравенством  fn(x)≤Сn (n=1,2…) , где Сn – члены сходящегося числовогоряда С1+С2+…+ Сn+… то функциональный ряд сходится на множестве L равномерно.

Свойства:

Если функции fn(x) непрерывны на a,b, составленный из них ряд f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+…, то

1.Функция f(x) на a,b непрерывна

2. a bf(x)dx=. a b f1(x)dx+…+. a b fn(x) dx+…

Если fn(x) имеют непрерывную производную на a,b и на этом отрезке

а)ряд f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+… сходится к f(x)

б)ряд f1'(x)+f2'(x)+…+fn'(x)+… сходится равномерно, то f(x) имеет на этом отрезке непрерывную производную f ' (x)= f1'(x)+f2'(x)+…+fn'(x)+…

1   ...   17   18   19   20   21   22   23   24   ...   33


написать администратору сайта