Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
Скачать 0.69 Mb.
|
4. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства.Пусть дан знакопеременный ряд. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов |a1|+|a2|+…+|an|+… Очевидно, что это ряд с положительными членами. Ряд называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд составленный из его членов. Теорема. Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится. Сумма такого ряда равна разности между суммой его плюс-ряда и суммой минус-ряда. Доказательство. Пусть ряд а1+а2+…+аn+… сходится абсолютно, т.е. сходится ряд |a1|+|a2|+…+|an|+… Обозначим частичные суммы ряда из модулей его членов через Tn. Имеем Tn= Tn++ Tn- (где Tn+ - некоторая частичная сумма плюс-ряда, Tn- - частичная сумма минус-ряда.) Ввиду сходимоти ряда |a1|+|a2|+…+|an|+…его частичные суммы Tnограничены некоторым числом С. Тогда следует, Tn1+С и Tn2-С, т.е. частичные суммы минус- и плюс-ряда также ограничены сверху числом С. Согласно критерию сходимости рядов с положительными членами отсюда вытекает сходимость плюс- и минус-рядов, т.е. существуют пределы T+=lim T+k и T-=lim T-l. Если теперь k l из равенства перейти к пределу при n, то получим limTn=T+-T-, ч.т.д. l 5. Условно сходящиеся ряды.Ряд а1+а2+…+аn+… называется условно сходящимся , если он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. (теорема Римана.Если ряд сходится условно, то в результате перестаноски его членов можно получить ряд, имеющий любую сумму, а также расходящийся ряд.) 6. Ряды с комплексными членами. (cо слов Гончаренко)Комплексное число представляется в виде a+b*i, где а – действительная часть числа, i – мнимая единица (поясняю: мнимая единица – единица, квадрат которой равен «-1»). Если суммы действительных(аn) и мнимых (bni) частей комплексных чисел сходятся, то сходится и весь ряд комплексных чисел. (аналогичны и остальные определения.) 7 . Свойства правильно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное дифференцирование и интегрирование. (!!предполагается равномерно сход=правильно сход). Функция S(x) ,х является суммой ряда, если S(x) =lim n→∞ S(x) , где S(x)=f1(x)+f2(x)+…+fn(x) Если S(x) , хL (LΩ) является суммой ряда f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+…=n=1∑ ∞ fn(x) (функциональный ряд), то говорят, что рядсходится на множестве L функции S(x). Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве L к функции S(x) , если для любого числа существует номер N такой, что при n cразу для всех хL выполняется неравенство S(x) -Sn (x) Если функциональный ряд сходится на множестве L , то на этом множестве сходимость не обязана быть равномерной, однако на некотором подмножестве множества L сходимость может оказаться уже равномерной. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Если члены функционального ряда f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+… удовлетворяют на множестве L неравенством fn(x)≤Сn (n=1,2…) , где Сn – члены сходящегося числовогоряда С1+С2+…+ Сn+… то функциональный ряд сходится на множестве L равномерно. Свойства: Если функции fn(x) непрерывны на a,b, составленный из них ряд f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+…, то 1.Функция f(x) на a,b непрерывна 2. a∫ bf(x)dx=. a∫ b f1(x)dx+…+. a∫ b fn(x) dx+… Если fn(x) имеют непрерывную производную на a,b и на этом отрезке а)ряд f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+… сходится к f(x) б)ряд f1'(x)+f2'(x)+…+fn'(x)+… сходится равномерно, то f(x) имеет на этом отрезке непрерывную производную f ' (x)= f1'(x)+f2'(x)+…+fn'(x)+… |