Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
Скачать 0.69 Mb.
|
9. Формула полной вероятности. Формула БайесаЕсли события Н1, Н2,…,Нn попарно несовместны и образуют полную группу, то для вероятности любого события А справедлива формула р(А)=рН1(А1)р(Н1)+рН2(А)р(Н2)+…+рHn(А)р(Нn). Вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятность самих гипотез. Формула Байеса. (условие – событие А может наступить только с одной из гипотез). Эта формула определяет вероятность, что имела место именно эта гипотеза. Вывод формулы. p(AHi)=pHi(A)p(Hi) p(HiA)=pA(Hi)p(A) приравниваем правые части, получим pHi(A)p(Hi)=pA(Hi)p(A) воспользуемся формулой полной вероятности. pA(Hi)=рHi(A)p(Hi) . рН1(А1)р(Н1)+рН2(А)р(Н2)+…+рHn(А)р(Нn) 10. Дискретная СВ и ее закон распределения.Величина, принимающая в результате испытания (опыта) определенное значение, называется случайной величиной. СВ Х называется дискретной, если существует конечное и счетное множество S=х1, х2,… такое, что Р(ХS)=1. Числа х1, х2,…называются возможными значениями СВ Х. Пусть рi=Р(Х=хi) – вероятность возможного i-го значения. При хi ≠ хj события Х=хi и Х= хj несовместны. Применяя правило сложения вероятностей для несовместных событий получим: Таблица
называется законом распределения дискретной СВ Х. Для любой СВ функция распределения – F(x)=P(X F(x) – ступенчатая функция со скачками в х1, х2,…, причем величины скачков равны р1, р2,… 11. Числовые хар-ки СДВ.Математическим ожиданием дискретной СВ Х, множество возможных значений которой конечно, называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности: М(Х)=х1р1+х2р2+…+хnpn Свойства. 1.Матем. ожидание константы равно константе: М(С)=С 2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х) 3.Математическое ожидание суммы СВ равно сумме мат. ожиданий слагаемых: М(Х1+Х2+…+Хn)=M(X1)+M(X2)+…+M(Xn) 4.Математическое ожидание произведений независимых СВ равно произведению математических ожиданий сомножителей. (дискр.СВ наз. независимыми, если Р(Х1=а1,…Хn=an)=P(X1=a1)*…Р(Xn=an). Для любой СВ Х разность Х-М(Х) называется отклонением Х. Математическое ожидание квадрата отклонения СВ Х называется дисперсией Х. По определению D(X)=M(X-M(X))2. Стандартное отклонение СВ Х определяется как корень квадратный из дисперсии и обозначается (х). Из свойств математического ожидания: D(X)=M(X2)-M(X)2 Свойства. 1.Прибавление (вычитание) константы к СВ не меняет ее дисперсии D(X+C)=D(X) 2.Постоянный множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате D(СX)=С2D(X) 3.Дисперсия суммы независимых СВ равна сумме дисперсий слагаемых D(X1+…+Xn)=D(X1)+…+ D(Xn) Важно помнить, что дисперсия константы равна 0: D(C)=0 Начальным моментом порядка К СВ Х называют математическое ожидание величины Хк : к=М(Хк) Центральным моментом порядка к случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-М(Х)) к к=М[(X-M(X)) к] Cоотношение, связывающее начальные и центральные моменты: 2=2-12 При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики – асимметрию и эксцесс (для нормального распределения эти характеристики равны 0). Асимметрией теоретического распределения (теоретическим называют распределение вероятностей) называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения: Аs=3\3 Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется следующим равенством: Ек=(4\4)-3 |