Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз

• Название: 1. Функция, одз
• Анкор: Шпоры по матану(1 курс).doc
• Дата: 25.03.2018
• Размер: 0.69 Mb.
• Имя файла: Шпоры по матану(1 курс).doc
• Тип: Документы; #17195
• страница: 29 из 33

9. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Если события Н₁, Н₂,…,Н_n попарно несовместны и образуют полную группу, то для вероятности любого события А справедлива формула р(А)=р_Н1(А₁)р(Н₁)+р_Н2(А)р(Н₂)+…+р_Hn(А)р(Н_n). Вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятность самих гипотез.

Формула Байеса. (условие – событие А может наступить только с одной из гипотез). Эта формула определяет вероятность, что имела место именно эта гипотеза.

Вывод формулы.

p(AH_i)=p_Hi(A)p(H_i)

p(H_iA)=p_A(H_i)p(A) приравниваем правые части, получим

p_Hi(A)p(H_i)=p_A(H_i)p(A) воспользуемся формулой полной вероятности.

p_A(H_i)=р_Hi(A)p(H_i) .

р_Н1(А₁)р(Н₁)+р_Н2(А)р(Н₂)+…+р_Hn(А)р(Н_n)

10. Дискретная СВ и ее закон распределения.

Величина, принимающая в результате испытания (опыта) определенное значение, называется случайной величиной. СВ Х называется дискретной, если существует конечное и счетное множество S=х₁, х₂,… такое, что Р(ХS)=1. Числа х₁, х₂,…называются возможными значениями СВ Х.

Пусть р_i=Р(Х=х_i) – вероятность возможного i-го значения. При х_i ≠ х_j события Х=х_i и Х= х_j несовместны. Применяя правило сложения вероятностей для несовместных событий получим:
Таблица

Х	х1	х2	…
Р	р1	р2	…

называется законом распределения дискретной СВ Х. Для любой СВ функция распределения – F(x)=P(X


F(x) – ступенчатая функция со скачками в х1, х2,…, причем величины скачков равны р1, р2,…

11. Числовые хар-ки СДВ.

Математическим ожиданием дискретной СВ Х, множество возможных значений которой конечно, называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности: М(Х)=х₁р₁+х₂р₂+…+х_np_n

Свойства. 1.Матем. ожидание константы равно константе: М(С)=С

2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х)

3.Математическое ожидание суммы СВ равно сумме мат. ожиданий слагаемых:

М(Х1+Х2+…+Хn)=M(X1)+M(X2)+…+M(Xn)

4.Математическое ожидание произведений независимых СВ равно произведению математических ожиданий сомножителей. (дискр.СВ наз. независимыми, если Р(Х₁=а₁,…Хn=a_n)=P(X₁=a₁)*…Р(Xn=a_n).

Для любой СВ Х разность Х-М(Х) называется отклонением Х. Математическое ожидание квадрата отклонения СВ Х называется дисперсией Х. По определению D(X)=M(X-M(X))².

Стандартное отклонение СВ Х определяется как корень квадратный из дисперсии и обозначается (х). Из свойств математического ожидания: D(X)=M(X²)-M(X)²

Свойства. 1.Прибавление (вычитание) константы к СВ не меняет ее дисперсии D(X+C)=D(X)

2.Постоянный множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате D(СX)=С²D(X)

3.Дисперсия суммы независимых СВ равна сумме дисперсий слагаемых D(X1+…+Xn)=D(X1)+…+ D(Xn)

Важно помнить, что дисперсия константы равна 0: D(C)=0

Начальным моментом порядка К СВ Х называют математическое ожидание величины Х^к : к=М(Х^к)

Центральным моментом порядка к случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-М(Х)) ^к

к=М[(X-M(X)) ^к]

Cоотношение, связывающее начальные и центральные моменты: 2=2-1²

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики – асимметрию и эксцесс (для нормального распределения эти характеристики равны 0). Асимметрией теоретического распределения (теоретическим называют распределение вероятностей) называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения: Аs=₃\³

Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется следующим равенством: Ек=(₄\⁴)-3