Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
Скачать 0.69 Mb.
|
18. Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.Неравенство Маркова . Пусть У - дискретная СВ. - некоторое число, тогда Р(У) ≤М(У)\ Неравенство Чебышева. Пусть имеется СВ с математическим ожиданием m и дисперсией D. Каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , ограничена сверху числом D\2 Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным. Теорема Чебышева. Пусть имеется бесконечная последовательность 1,2,.. независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием m и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной: M[1]=M[2]=…=m D[1] Тогда каково бы ни было положительное число , вероятность события |((1+…+n)\n)-m|<, стремится к 1 при n стремящемся к бесконечности. Теорема Бернулли. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью р может наступить некоторое событие А. Рассмотрим СВ - число наступлений события А в n опытах. Каково бы ни было положительное число , вероятность события |\n-p|< стремится к 1 при n стремящемся к бесконечности. Центральная предельная теорема Ляпунова. Если последовательность 1,2,..независимых СВ удовлетворяет условию Ляпунова (отдельные отклонения i от ее математического ожидания должны быть равномерно малы по сравнению с суммарным отклонением случайных величин. Если при n стремящемся к бесконечности предел то будем говорить, что последовательность 1,2,..удовлетворяет условию Ляпунова) то справедливо предельное соотношение что означает, что закон распределения СВ v' с ростом приближается к нормальному с мат. ожиданием 1 и дисперсией 0. 8. Математическая статистика.1. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма,Опр.1. Выборкой наз совокупность случайно отобранных объектов. Опр.2 Генеральной совокупностью наз совокупность объектов, из которых производится выборка. Объемом сов-ти наз число объектов этой совокупности. Опр.3. Ряд распределения – это упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по к.-л. признаку. Вариационным рядом (в.р.) наз группировка сов-ти по количественному признаку, т.е. это ряд распределения, сгруппированный по колич. Признаку. В.Р. будет дискретным, если он остроен подискретному признаку и непрерыным, если – по непрерывному. В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму. На оси Ох строятся интервалы, над которыми строятся прямоугольники с высотой, равной частоте (относительной частоте) соответствующего интервала. Площадь гистограммы равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.( в случае относительных частот = 1). 2. Эмпирическая ф-я распределения.(э.ф.р.)Опр. Э.Ф.Р. (ф-й распределения выборки) наз ф-ю F*(х), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х<х: F*(х)=nx/n, nx –число вариант, меньших х, n- объем выборки. 3. Выборочная средняяОпр. Выборочной средней Хв(над Х необходимо рисовать черточку) наз среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения х1,х2,…,хn различны, то Хв=(х1+х2+…+ хn)/n. Если значения признака х1,х2,…,хk имеют соответственно частоты n1,n2,…,nk, причем n1+n2+…+nk =n, то Хв=(∑i=1knixi)/n, т.е. выборочная средняя есть средняя взвешанная значений признака с весами, равными соответствующим частотам. 4. Выборочная дисперсия.Выборочной дисперсией Dв наз среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от их среднего значения Хв (с чертой). Если все значения х1,х2,…,хn различны, то Dв=(∑i=1n(xi – xв )2)/n Если значения признака х1,х2,…,хk имеют соответственно частоты n1,n2,…,nk, причем n1+n2+…+nk =n, то Dв=(∑i=1kni(xi – xв )2)/n, т.е. выборочная дисперсия есть средняя взвешанная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам. |