Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз

• Название: 1. Функция, одз
• Анкор: Шпоры по матану(1 курс).doc
• Дата: 25.03.2018
• Размер: 0.69 Mb.
• Имя файла: Шпоры по матану(1 курс).doc
• Тип: Документы; #17195
• страница: 28 из 33

3. Формула сложения вероятностей.

Если А и В несовместны р(А+В)=р(А)+р(В)

р(А)+р(Ā)=1.

Каждому событию А ставится в соответствие некоторое подмножество множества . Все возможные исходы (элементы множества) – множество элементарных событий. =ωi Все возможные события – система подмножеств .

12

1.Любое подмножество можно представить в виде суммы ωi .

2.Если А1, А2,… (алгебра событий), то А1А2…, А1А2… (если А1, А2,… - события, то их объединение тоже событие)

3.Если А – событие, то Ā есть тоже событие.(А, то Ā)

Аксиомы вероятностей.

1.Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число р(А), называемое вероятностью события А.

2.Если события А1, А2,…попарно несовместны, то р(А1,А2,…)= р(А1)+р(А2)+…

4. Комбинаторное правило умножения. Размещения, перестановки и сочетания.

Одни события явл. комбинациями других. И это необходимо учитывать при нахождении вероятностей.

Комбинаторное произведение событий. Пусть А и В – два события. Произведение событий А*В есть событие Д, заключающееся в том, что А и В произошли вместе: А*В=Д. Аналогично определяется произведение любого множества событий.

Размещения. Перестановки, сочетания.

Всевозможные группировки из данных n элементов по м в каждой, отличающиеся друг от друга либо самими элементами. Либо порядком расположения эл-в, называют размещениями из к элементов по m.

Например, размещения из 3-х эл-в а,б,с: аб,ас,ба,бс,са.сб. Число всех размещений из n эл-в вычисляют: A_n^m=n!/(n-m)!

Перестановками из n эл-в наз их группировки, отличающиеся друг от друга только порядком входящих в них эл-в. Например, перестановки из а,в,с: авс,сва,вас,вса, асв,сав. Число всех различных перестановок: Р_n= n!

Всевозможные группировки из данных n эл-в по m в каждой, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, наз сочетаниями из n эл-в по m.

Пример: сочетания из а,в,с,д по 2:ав, ас, ад, вс, вд, сд.

Число всех сочетаний из n эл-в по m:

C_n^m = n!/(m!*(n-m)!).

5. Классический способ подсчета вероятностей.

Опыт (Е)  множество элементарных исходов: А₁, А₂…:

1. 
   все А_i равновозможные
   
2. 
   любые два исхода несовместны
   
3. 
   А₁  А₂ … = 
   

Р А = m/n, где n – общее число элементарных исходов, связанных с Е, m – число элементарных исходов, приводящих к А

6. Геометрические вероятности

Геометрические вероятности – вероятность попадения точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L на удачу ставится точка (поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L), вероятность попадения точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. Вероятность попадения точки на отрезок l определяется равенством

P =Длина l / Длина L.

Пусть плоскость фигуры g составляет часть плоскости фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка, т. е. брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G. Вероятность попадения брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. Вероятность попадения точки в фигуру g определяется равенством P = Площадь g / Площадь G.

7. Правило сложения вероятностей.

Если событие А и В несовместны, то РА + В = РА + РВ

Доказательство:

Е, N_раз , N_А раз наблюдалось событие А, N_В раз наблюдалось событие В, N_А+В раз наблюдалось событие А+В.

Так как А и В несовместны, то N_А+В = N_А + N_В, N_А+В / N = N_А / N+ N_В / N.

Если устремить N  , то получается РА + В = РА + РВ

Обобщение: Если А₁, А₂, … , А_n – попарно несовместны, то

РА₁ + А₂ + … + А_n  = РА₁ + Р А₂+ … + Р А_n

8. Условная вероятность. Правило умножения вероятностей

Пусть A и В – два случайных события по отношению к некоторому опыту , причём р(В) не равно нулю. Число р(АВ)/р(В) называется вероятностью события А при условии, что наступило событие В, или просто условной вероятностью события А. Таким образом р_в(А) = р(АВ)/р(В). Пусть N – общее число экспериментов, N_B - число экспериментов, в которых имело место событие В. N_АВ – Число экспериментов, в которых имели место события А и В одновременно. Отношение N_АВ/N_B – частота события А при условии, что наступило событие В.

р(АВ)=р_В(А)р(В) – Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из этих событий при условии другого, умноженной на вероятность самого условия. Аналогичная формула справедлива для трёх событий. р(А₁А₂А₃)=р(А₁)р_А1(А₂)р_А1А2(А₃)
А не зависит от В, если выполняется равенство р_В(А)=р(А). Наступление В не оказывает влияния на наступление события А.

Правило умножения вероятностей - Если событие А не зависит от В, то справедливо равенство р(АВ)=р(А)р(В). (веростность произведения равна произведению вероятностей)