Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
Скачать 0.69 Mb.
|
13. Ряд Тейлора.Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки х=0 и имеет в этой точке произволдные всех порядков. Степенной ряд f(х0)+ (f’(х0)/1!)*(x-х0)+ (f’’(х0)/2!)*(x-х0)2+…+(f(n)(х0)/n!)*(x-х0)n+… называется рядом Тейлора с центром х0 джлдя ф-и f(x). Теорема. Если ф-я разлагается в некоторой окрестности т. х0 по степеням х-х0, то он явл рядом Тейлора с центром х0. 14. Приложения степенных рядов.
0≤ Rn(x) < хn+1/n!n
Заменим х на –х: Ln(1-x)= -x- х2/2-х3/3-…+-хn+1/(n+1)-… вычитая из первого равенства второе получим: Ln(1+x)/(1-х)= 2(x+х3/3+х5/5+…), где |х|<1.
Sinx=x- х3/3!+х5/5!+…+(-1)nх2n+1/(2n+1)!+… Cosx=1- х2/2!+х4/4!+…+(-1)nх2n/(2n)!+… Ряды при больших х сходятся медленно. Но, учитывая периодичность ф-й синуса и косинуса и формулы приведения тригонометрич. Ф-й, достаточно уметь вычислять sinx, cosx для промежутка 0≤х ≤ π/4.
15 Матричные степенные ряды и условия их сходимости.Пусть дана квадратная матрица А размера k и степенной ряд 0 + 1x + 2x2 +…+ nxn +… Степенным матричным рядом называется ряд, полученный заменой в степенном ряде переменной х на А: 0 + 1А + 2А2 +…+ nАn +… = n=0 nАn. - собственное значение матрицы А, если найдется ненулевой собственный вектор х, для которого выполняется равенство Ах = х Матричный степенной ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится степенной ряд 0 + 1 + 22 +…+ nn +… = n=0 nn (*) для каждого собственного значения матрицы А. Доказательство: Пусть матричный ряд сходится и - собственное значение матрицы А с собственным вектором х. Пусть В = n=0 nn, Вх – вектор. Т. к. для любого натурального n выполняется равенство Аnx = nx, то справедливо равенство Вх = n=0 nnх сходимость ряда (*). Для доказательства достаточности можно рассмотреть случай, когда собственные векторы матрицы А образуют базис пространства Rk. Для проверки сходимости ряда 0 + 1А + 2А2 +…+ nАn +… = n=0 nАn достаточно проверить, что для любого вектора х пространства Rk сходится ряд из векторов 0х + 1Ах + 2А2х +…+ nАnх +… Если х – собственный вектор матрицы А, то ряд 0х + 1Ах + 2А2х +…+ nАnх +… (**) сходится по условию. В общем случае вектор х представляется в виде линейной комбинации собственных векторов. Поэтому ряд (**) также представляется в виде линейной комбинации рядов такого же типа для собственных векторов, каждый из которых сходится. Следовательно, сходится и ряд (**) теорема доказана. |