Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
Скачать 0.69 Mb.
|
1 |
f(x) | fn(x) |
Xa Ex Ekx Akx Lnx Logax Sinkx Cos kx | A(a-1)*(a-2)*…*(а-n+1)*х a-n Ех Kn*ekx (K* Lna)n*akx (-1)n-1*(n-1)!/xn (-1)n-1*(n-1)!/(xn*lna) kn*sin(kx+n*π/2) kn*cos (kx+n*π/2) |
Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:
d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка
d3y=d(d2y)…
dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка
Если ф-я y=f(v), где v – независимая переменная или линейная ф-я v=кх+в переменной х, то d2y=y’’(dv)2, d3y=y’’’(dv)3,…, dny=y(n)(dv)n.
Если же y=f(v), где v=g(x)≠кх+в, то d2y=f’’(v)*(dv)2+ f’(v)d2v и т.д. (т.е. св-во инвариантности не выполняется).
14 Формула Тейлора.
Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен
T(x) = f(x0) + ( (f’(x0))/1! )(x – x0)1 + (f ”(x0))/2!(x – x0)2 +…+ (f (n)(x0))/n!(x – x0)n
Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x0.
Пусть функция f(x) имеет в ε – окрестности точки x0 (n + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х0, для которой выполняется следующая формула
F(x) = T(x) + ( f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – формула Тейлора,
где Т(x) – n-й многочлен Тейлора функции f(x) в точке х0,
rn(x) = ( f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – остаточный член в формуле Лагранжа.
Предположим, что (n+1)-я производная функция f(x) ограничена в окрестности точки х0. Тогда rn(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-х0)n при х х0. (lim (rn(x)/(х-х0)n) = lim [((f(n+1)(c))/(n+1)!)(x-x0)] = 0 – в силу
ХХо ХХо
Ограниченности f(n+1) (c) в окрестности х0.) Следовательно ошибка в приближенном равенстве f(x) Tn(x) (*) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х – х0)n, когда х х0.
Формула (*) применяется для приближенных вычислений.
Используя равенство (*) можно подучить, например следующие формулы (при х0):
(1+x) 1 + (/1!)x + ((-1)/2!)x2 +…+ ((-1)…(-n+1)/n!)xn,
ex 1 + x/1! + x2/2! +…+ xn/n!,
ln(1+x) x – x2/2 + x3/3 – x4/4 +…+(-1)n+1xn/n
sin x x – x3/3! + x5/5! – x7/7! +…+(-1)kx2k+1/(2k+1)!,
cos x 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! +…+(-1)kx2k/(2k)!,
где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно хn.