Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
![]()
|
1 Т ![]() (конечный или бесконечный), ![]() то существует и предел при этом выполняется равенство: ![]() Доказательство: Д ![]() и ![]() т ![]() о ƒ(х) и g(х) непрерывны в точке а, и к этим функциям можно применить теорему Коши. Учитывая, что ƒ(а) = ƒ(b)=0, получим ![]() для некоторой точки с, расположенной между точками а и х. При х→а имеем с→а и, следовательно если ƒ(х)→0 и g(х)→0 (соответственно, |ƒ(х)|→+∞, |g(х)|→+∞), когда а→А. Правило Лопиталя позволяет во многих случаях найти предел вида или, иными словами, раскрыть неопределенность. В ряде случаев по правилу Лопиталя удается раскрыть неопределенности вида Д ![]() которое приводит указанные неопределенности к виду 0•х. 13 .Производные и дифференциалы высших порядкров.Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′ . В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д. При вычислении производных высших порядков используют те же правила, что и для вычисления у’. Табл. Произ-х высшего порядка:
Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом: d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка d3y=d(d2y)… dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка Если ф-я y=f(v), где v – независимая переменная или линейная ф-я v=кх+в переменной х, то d2y=y’’(dv)2, d3y=y’’’(dv)3,…, dny=y(n)(dv)n. Если же y=f(v), где v=g(x)≠кх+в, то d2y=f’’(v)*(dv)2+ f’(v)d2v и т.д. (т.е. св-во инвариантности не выполняется). 14 Формула Тейлора.Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен T(x) = f(x0) + ( (f’(x0))/1! )(x – x0)1 + (f ”(x0))/2!(x – x0)2 +…+ (f (n)(x0))/n!(x – x0)n Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x0. Пусть функция f(x) имеет в ε – окрестности точки x0 (n + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х0, для которой выполняется следующая формула F(x) = T(x) + ( f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – формула Тейлора, где Т(x) – n-й многочлен Тейлора функции f(x) в точке х0, rn(x) = ( f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – остаточный член в формуле Лагранжа. Предположим, что (n+1)-я производная функция f(x) ограничена в окрестности точки х0. Тогда rn(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-х0)n при х х0. (lim (rn(x)/(х-х0)n) = lim [((f(n+1)(c))/(n+1)!)(x-x0)] = 0 – в силу ХХо ХХо Ограниченности f(n+1) (c) в окрестности х0.) Следовательно ошибка в приближенном равенстве f(x) Tn(x) (*) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х – х0)n, когда х х0. Формула (*) применяется для приближенных вычислений. Используя равенство (*) можно подучить, например следующие формулы (при х0):
где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно хn. |