Главная страница
Навигация по странице:

  • Доказательство

  • Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз


    Скачать 0.69 Mb.
    Название1. Функция, одз
    АнкорШпоры по матану(1 курс).doc
    Дата25.03.2018
    Размер0.69 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаШпоры по матану(1 курс).doc
    ТипДокументы
    #17195
    страница8 из 33
    1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   33

    1
    2. Правило Лопиталя


    Теорема (правило Лопиталя). Пусть А – число, символ одностороннего предела (А=а±0) или символ бесконечности (А=±∞). Пусть функции ƒ(х) и g(х) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при х→А. Тогда, если существует предел

    (конечный или бесконечный),



    то существует и предел при этом выполняется равенство:




    Доказательство:

    Доказательство теоремы дадим в случае, когда ƒ(х) и g(х) – бесконечно малые функции и А=а – число. Изменим, если это необходимо, определение функций ƒ(х) и g(х) в точке а так, чтобы значения этих функций в точке а были бы равны нулю: ƒ(х) = g(х)=0. Так как
    и
    т
    о ƒ(х) и g(х) непрерывны в точке а, и к этим функциям можно применить теорему Коши. Учитывая, что ƒ(а) = ƒ(b)=0, получим


    для некоторой точки с, расположенной между точками а и х. При х→а имеем с→а и, следовательно если ƒ(х)→0 и g(х)→0 (соответственно, |ƒ(х)|→+∞, |g(х)|→+∞), когда а→А. Правило Лопиталя позволяет во многих случаях найти предел вида

    или, иными словами, раскрыть неопределенность.

    В ряде случаев по правилу Лопиталя удается раскрыть неопределенности вида

    Для этого следует воспользоваться тождеством


    которое приводит указанные неопределенности к виду 0•х.

    13 .Производные и дифференциалы высших порядкров.


    Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′ . В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д.

    При вычислении производных высших порядков используют те же правила, что и для вычисления у’.

    Табл. Произ-х высшего порядка:

    f(x)

    fn(x)

    Xa

    Ex

    Ekx

    Akx

    Lnx

    Logax

    Sinkx

    Cos kx

    A(a-1)*(a-2)*…*(а-n+1)*х a-n

    Ех

    Kn*ekx

    (K* Lna)n*akx

    (-1)n-1*(n-1)!/xn

    (-1)n-1*(n-1)!/(xn*lna)

    kn*sin(kx+n*π/2)

    kn*cos (kx+n*π/2)


    Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:

    d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка

    d3y=d(d2y)…

    dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка

    Если ф-я y=f(v), где v – независимая переменная или линейная ф-я v=кх+в переменной х, то d2y=y’’(dv)2, d3y=y’’’(dv)3,…, dny=y(n)(dv)n.

    Если же y=f(v), где v=g(x)≠кх+в, то d2y=f’’(v)*(dv)2+ f’(v)d2v и т.д. (т.е. св-во инвариантности не выполняется).

    14 Формула Тейлора.


    Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен

    T(x) = f(x0) + ( (f’(x0))/1! )(x – x0)1 + (f ”(x0))/2!(x – x0)2 +…+ (f (n)(x0))/n!(x – x0)n

    Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x0.

    Пусть функция f(x) имеет в ε – окрестности точки x0 (n + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х0, для которой выполняется следующая формула

    F(x) = T(x) + ( f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – формула Тейлора,

    где Т(x) – n-й многочлен Тейлора функции f(x) в точке х0,

    rn(x) = ( f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – остаточный член в формуле Лагранжа.

    Предположим, что (n+1)-я производная функция f(x) ограничена в окрестности точки х0. Тогда rn(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-х0)n при х  х0. (lim (rn(x)/(х-х0)n) = lim [((f(n+1)(c))/(n+1)!)(x-x0)] = 0 – в силу

    ХХо ХХо

    Ограниченности f(n+1) (c) в окрестности х0.) Следовательно ошибка в приближенном равенстве f(x)  Tn(x) (*) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х – х0)n, когда х  х0.

    Формула (*) применяется для приближенных вычислений.

    Используя равенство (*) можно подучить, например следующие формулы (при х0):

    1. (1+x)  1 + (/1!)x + ((-1)/2!)x2 +…+ ((-1)…(-n+1)/n!)xn,

    2. ex  1 + x/1! + x2/2! +…+ xn/n!,

    3. ln(1+x)  x – x2/2 + x3/3 – x4/4 +…+(-1)n+1xn/n

    4. sin x  x – x3/3! + x5/5! – x7/7! +…+(-1)kx2k+1/(2k+1)!,

    5. cos x  1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! +…+(-1)kx2k/(2k)!,

    где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно хn.

    1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   33


    написать администратору сайта