Главная страница

Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз


Скачать 0.69 Mb.
Название1. Функция, одз
АнкорШпоры по матану(1 курс).doc
Дата25.03.2018
Размер0.69 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаШпоры по матану(1 курс).doc
ТипДокументы
#17195
страница7 из 33
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   33

10 Производная сложной и обратной функции.


Теорема.Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х0 производная f(x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у0=f(x0) и g(y0)=1/f(x0) или xy=1/yx.

Доказательство.

Пусть а=f(x0). Тогда из дифференцируемости f(x) в х0 следует, что приращение у= f(x0+х) - f(x0) можно представить в виде у=ах+ах=(а+а) х, где а=а(х)0 при х0. Так как а не равно нулю, то отсюда следует, что х0, когда у0. Имеем

g(y0)= lim g(y+y)-g(y0) = lim x =lim y-1 = 1 .

y0 y y0 y y0 x f(x0)
Теорема.Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t0 и g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в t0 и выполняется следующая формула: d f(g(t))/dt|t=to=f(x0)*g(t0) или yt=yx*xt.

Доказательство.

Функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, поэтому её приращение можно представить как y=f(x0)+a(x)*x. Где x0 при t0 поскольку функция g(t) непрерывна (следствие дифференцируемости) в точке t0. Так как а(x)0 при x 0 и при t0. Поэтому

d f(g(t))|t=to=lim (f(x0)) x +a(x) x =

dt t0 t t

=f(x0)g(t0)+0*g(t0)= f(x0)g(t0).

11. Производная основных элементарных функций.


Производная логарифмической функции. y=logax

y=loga(x+x)-logax=loga(1+x/x)=1 loga(1+x/x)= 1loga(1+t)=1 loga(1+t)1/t

x x x x x/x x t x

где t=x/x Используя непрерывность функции logax в точке х=е и первый замечательный предел, найдём производную логарифмической функции: (logах)= 1(logа(lim(1+t)1/t) = 1logae= 1.

x t0 x x lna

Производная показательной функции.

У=ах является обратной для функции х=logау. По теореме

ух= 1= 1 =ylna

xy 1/ylna

Поскольку у=ах, получаем (ах)=ахlna.

Производная степенной функции.

Функция у=ха при х>0 может быть представлена в виде хаalnx. Найдём (ха)=( еalnx)= еalnx(alnx)=ха*а/х=аха-1 Аналогично доказывается для x<0.

Производные тригонометрических функций.

С помощью формулы sinа-sinb=2sin[(a-b)/2]*cos[(a+b)/2] , первого замечательного предела и непрерывности функции cos x найдём

(sinх)=lim sin (х+х) – sinх= lim 2sin(х/2) cos(х+х/2) =

x0 x x0 x

=lim sin(х/2) cos(х+х/2) = cos x

x0 x/2

Для нахождения производных функций cos x и tg x можно использовать тождество cos x=sin(x-/2) , правило дифференцирования сложной функции.

Итак, (sin х)=cos x, (cos x)= - sin x, (tg x)=1/cos2 x.

Производные обратных тригонометрических функций.

Функция у=arcsinx является обратной для функции х=sinу. Следовательно, (arcsinx)x= 1 = 1= 1= 1

(siny)y cosy 1-sin2x 1-x2

Аналогично находятся остальные обратные тригонометрические функции. (arcsinx)=1/1-x2, (arccosx)= - 1/1-x2, (arctgx)=-1/(x2+1).
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   33


написать администратору сайта