Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз
Скачать 0.69 Mb.
|
10 Производная сложной и обратной функции.Теорема.Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х0 производная f(x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у0=f(x0) и g(y0)=1/f(x0) или xy=1/yx. Доказательство. Пусть а=f(x0). Тогда из дифференцируемости f(x) в х0 следует, что приращение у= f(x0+х) - f(x0) можно представить в виде у=ах+ах=(а+а) х, где а=а(х)0 при х0. Так как а не равно нулю, то отсюда следует, что х0, когда у0. Имеем g(y0)= lim g(y+y)-g(y0) = lim x =lim y-1 = 1 . y0 y y0 y y0 x f(x0) Теорема.Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t0 и g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в t0 и выполняется следующая формула: d f(g(t))/dt|t=to=f(x0)*g(t0) или yt=yx*xt. Доказательство. Функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, поэтому её приращение можно представить как y=f(x0)+a(x)*x. Где x0 при t0 поскольку функция g(t) непрерывна (следствие дифференцируемости) в точке t0. Так как а(x)0 при x 0 и при t0. Поэтому d f(g(t))|t=to=lim (f(x0)) x +a(x) x = dt t0 t t =f(x0)g(t0)+0*g(t0)= f(x0)g(t0). 11. Производная основных элементарных функций.Производная логарифмической функции. y=logax y=loga(x+x)-logax=loga(1+x/x)=1 loga(1+x/x)= 1loga(1+t)=1 loga(1+t)1/t x x x x x/x x t x где t=x/x Используя непрерывность функции logax в точке х=е и первый замечательный предел, найдём производную логарифмической функции: (logах)= 1(logа(lim(1+t)1/t) = 1logae= 1. x t0 x x lna Производная показательной функции. У=ах является обратной для функции х=logау. По теореме ух= 1= 1 =ylna xy 1/ylna Поскольку у=ах, получаем (ах)=ахlna. Производная степенной функции. Функция у=ха при х>0 может быть представлена в виде ха=еalnx. Найдём (ха)=( еalnx)= еalnx(alnx)=ха*а/х=аха-1 Аналогично доказывается для x<0. Производные тригонометрических функций. С помощью формулы sinа-sinb=2sin[(a-b)/2]*cos[(a+b)/2] , первого замечательного предела и непрерывности функции cos x найдём (sinх)=lim sin (х+х) – sinх= lim 2sin(х/2) cos(х+х/2) = x0 x x0 x =lim sin(х/2) cos(х+х/2) = cos x x0 x/2 Для нахождения производных функций cos x и tg x можно использовать тождество cos x=sin(x-/2) , правило дифференцирования сложной функции. Итак, (sin х)=cos x, (cos x)= - sin x, (tg x)=1/cos2 x. Производные обратных тригонометрических функций. Функция у=arcsinx является обратной для функции х=sinу. Следовательно, (arcsinx)x= 1 = 1= 1= 1 (siny)y cosy 1-sin2x 1-x2 Аналогично находятся остальные обратные тригонометрические функции. (arcsinx)=1/1-x2, (arccosx)= - 1/1-x2, (arctgx)=-1/(x2+1). |