Шпоры по матану(1 курс). 1. Функция, одз

• Название: 1. Функция, одз
• Анкор: Шпоры по матану(1 курс).doc
• Дата: 25.03.2018
• Размер: 0.69 Mb.
• Имя файла: Шпоры по матану(1 курс).doc
• Тип: Документы; #17195
• страница: 3 из 33

12. Замечательные пределы.

1. 
   lim f(x)sinx/x =1(при х→0) – первый замечательный предел.
   

Док-во. Т.к. ф-я y= sinx – четная, то достаточно показать, что предел при х→0 справа равен 1.




T

M

tgx
x

K A

O


MK= sinx Видно, что sinx
1
1>sinx/x>cosx

при х→0 справа имеем lim cosx=1, lim 1=1. Значит получили требуемое равенство.

2) lim (1+1/x)^x =e(х→+ (-)∞) – второй замечательный предел.

Док-во.

Докажем

1)при +∞. Пусть х – любое число. Найдем такое целое n, чтобы выполнялось нер-во:

n ≤ x< n+1 (1)

Будем считать, что х>1,n>0. Сделав необходимые преобразования, получим: 1+1/ n ≥ 1+1/x> 1+1/(n+1)

Зная условие (1), можем получить: (1+1/ n)ⁿ⁺¹≥ (1+1/x)^x> (1+1/(n+1))ⁿ или f(x) ≥(1+1/x)^x>g(x). При х→+∞ ,n →+∞, f(x) и g(x)→е. По св- ву предела ф-и lim (1+1/x)^x →е(при х→+∞), что и т.д.

2) при -∞. Пусть х=-t, где t>0.

(1+1/x)^x=(1-1/t)-^t =((t-1)/t)^-t =(t/(t-1))^t =(1+1/(t-1))^t =(1+1/(t-1))^t-1 (1+1/(t-1))^x Выражение в правой части →е*1=е при х→-∞, т.е. t →+∞, что и т.д.

13. Формула непрерывных процентов.

К0-исходный капитал.

Р- номинальная процентная ставка.

к- число периодов начисления .

Пусть к=1, тогда К=К0*(1+р/100)

к=2, К=К0(1+р/2*100)²

… к=360, К=К0(1+р/360*100)³⁶⁰ …,т.е. К=К0(1+р/к*100)^к→К0*е^р/100 при к →∞(это случай, если начисление процентов производится в течение одного года). Когда начисление процентов производится на протяжении нескольких лет – t, то, разделив промежуток [0;t] на к равных периодов начисления процентов, получим (к→∞):

К0lim (1+рt/100*к)^к= К0*е^рt/100

К=К0*е^рt/100-формула непрерывных процентов.

14 Непрерывность функции в точке.

y = f(x), x₀  D(f)

Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки х₀, называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке x₀ существует и равен значению в этой точке: lim f(x) = f(x₀)

^{X Xo}

y y = f(x) x  x₀; f(x)  f(x₀)
F(x₀) y



x₀ x Δy

x - x₀ = Δx

f(x) – f(x₀) = Δy

x x₀

Δx x

f(x) непрерывна в точке x₀  lim Δy = 0

^{ΔX  O}

Свойства функций непрерывных в точке

1)Если f(x), g(x) – непрерывны в точке x₀, то f(x) ± g(x); f(x)• g(x); f(x)/g(x) (g(x) ≠ 0) – также непрерывны в точке x_0.

Докажем, что F(x) = f(x)•g(x) непрерывна в точке x₀

Дано: f(x) и g(x) – непрерывны в x₀  lim f(x) = f(x₀); lim g(x) = g(x₀)

^{X  Xo X  Xo}

lim (f(x)•g(x)) = limf(x)•lim g(x) (по свойству предела функции) = f(x₀)•g(x₀) (по

^{X  Xo X  Xo X  Xo}

определению непрерывности)  F(x) = f(x)•g(x) непрерывна в x₀.
2) f(x) – непрерывна в точке x₀, существует такая окрестность точки

f(x₀) > 0 x₀ , во всех точках которой f(x) > 0.

15. Основные элементарные функции:

1. 
   Степенные функции: y = x^a,
   

где а – любое постоянное число. Областью определения считается промежуток x > 0, но если, например, а–натуральное число, функция определена для всех х.

2. 
   Показательная функция: y = a^x,
   

где a > 0, a ≠1. Область определения – множество всех действительных чисел.

3. 
   Логарифмическая функция: y = log_ax,
   

где a > 0, a ≠1. Область определения: x > 0.

4. 
   Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.
   

Область определения для sin x и cos x – множество действительных чисел.

5. 
   Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctgx.
   

Область определения x  -1; 1 для arcsin x и arccos x, множество действительных чисел для arctg x.

Действия над функциями, которые считаются допустимыми:

1. 
   все арифметические действия (f + g, f – g, f•g, f/g);
   
2. 
   построение сложной функции.
   

Элементарными функциями называются такие, которые получаются из основных с помощью допустимых действий.

Элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.