1. Оптикой
Скачать 4.65 Mb.
|
17 Уравнение эйконала. Запишем волновое уравнение для световой волны в среде с коэффициентом преломления n=c/v: (5.1) В общем случае для монохроматической волны справедливо:(5.2) Подставляя (5.2) в (5.1) находим уравнение для амплитуды Y(r), зависящей только от координаты: (5.3) где k0=w/c – волновое число в вакууме. Волновое число в среде k=nk0. Воспользуемся соотношением (для других координат будет аналогично): (5.4) Тогда (5.3) после деления на Y преобразуется к виду: (5.5) Решение этого уравнения ищем в виде: (5.6) Вещественная скалярная функция S(r) называется эйконалом(от греческого eikon – изображение). Подставляя (5.6) в (5.5), получаем: (5.7) Приравнивая нулю вещественную и мнимую части, получим два уравнения для определения А(r) и S(r): (5.8) Для оптического диапазона длина волны много меньше расстояния L, на которых амплитуда волны существенно меняется (порядка размера оптических элементов). Поэтому первыми двумя слагаемыми в первом уравнении (5.8) можно пренебречь (их сумма имеет порядок 1/L2). Тогда это уравнение в оптическом диапазоне принимает вид: (5.9) Это уравнение называется уравнением эйконала. Градиент от функции S(r) направлен по нормали к поверхности S=const. Поэтому эйконал S описывает поверхности постоянной фазы волны, а ÑS приводит к понятию луча, т.е. к представлению о движении световой энергии в данной точке в определенном направлении. Лучом называется линия, касательная к которой совпадает в каждой точке с вектором ÑS. Распространение света рассматривается как движение световой энергии по лучам. Плоскость, перпендикулярная лучам света (где S = const), называется волновым фронтом. Анализ распространения света в лучевом приближении составляет предмет геометрической оптики. Этот подход оправдан всегда, когда . (5.10) Физически этот член описывает искривление материальными объектами световых лучей, т.е. дифракцию света. Исходя из этого, можно сказать, что в геометрической оптике не учитываются дифракционные эффекты (см. гл.7). Принцип Ферма. В однородной среде S=k×r (k=const) и лучи являются прямыми параллельными линиями, а фронт волны – плоскостью, перпендикулярной лучам. Для неоднородной среды лучи имеют более сложную конфигурацию. Пусть точки P1и P2 соединяются лучом L (рис.5.1). Вычислим изменение фазы вдоль луча. Для каждой его точки имеем: (5.11) где dr направлен по лучу и совпадает с ÑS, dl – элемент длины пути. Для изменения фазы находим: (5.12) Интегрирование идет вдоль луча. Интеграл в (5.12) называется оптической длиной пути. Из (5.12) следует, что оптические длины путей вдоль различных лучей между точками волнового фронта в два момента времени одинаковы. Для любой другой кривой, соединяющей точки P1и P2 , оптическая длина пути оказывается больше, чем для реального луча. Принцип Ферма (Fermat Pierre, 1601 – 1675) утверждает, что интеграл в (5.12) вдоль луча имеет стационарное значение, т.е. первая вариация dS относительно соседних путей интегрирования равна нулю. Или то же самое в другой формулировке: реальный луч отличается от остальных кривых, соединяющих две заданные точки, тем, что соответствующая ему оптическая длина имеет стационарное значение, т.е. малое изменение траектории не приводит к изменению оптической длины. К принципу Ферма можно подойти и с другой стороны. Учтем что dt=dl / v – время прохождения пути dl со скоростью v, а n(r) = c / v(r). Тогда (5.13) где интеграл здесь дает время, затрачиваемое на прохождение пути от P1и P2. С этой точки зрения принцип Ферма звучит так: лучом, соединяющим две точки, является тот путь, который делает стационарным время, затрачиваемое светом на его прохождение. Формулировка о стационарности времени прохождения пути между двумя точками, с одной стороны, утверждает экстремальный характер этого времени, а с другой стороны, не исключает наличия нескольких путей с одинаковым временем прохождения. Например, в геометрической оптике все лучи от точки предмета идут по различным путям и встречаются в точке изображения. Но все они затрачивают одно и то же время на прохождение своего пути. Другими словами, оптические длины всех путей, соединяющих точку предмета с точкой изображения, одинаковы (принцип таутохронизма). 18 Вывод закона преломления из принципа Ферма. Пусть требуется соединить лучом две точки P1и P2 , находящиеся в однородных средах с коэффициентами преломления n1и n2, разделенных плоской границей (рис. 5.2). В каждой однородной среде луч – прямая линия. Из геометрии рисунка получаем для полного времени распространения света между точками P1и P2: (5.14) Условие стационарности принимает вид: (5.15) Учитывая, что получаем соотношение , полностью совпадающее с законом Снеллиуса: (5.16) Распространение луча в среде с переменным коэффициентом преломления. Пусть свет распространяется в среде с аксиально-симметричным изменением коэффициента преломления. Луч распространяется вдоль положительного направления этой оси Z в параксиальном приближении. Расстояние от оси – r. Из закона Снеллиуса для бесконечно тонкого слоя Dr имеем: (5.17) Разложим n(r + Dr) в ряд Тейлора и ограничимся линейным по Dr членом: (5.18) В параксиальном приближении sinDa » Da; cosDa » 1. Тогда с учетом линейного приближения получаем: (5.19) Т.к. tga1 = Dr / Dz , то в параксиальном приближении: (5.20) С учетом (5.20) из (5.19) находим уравнение распространения луча: (5.21) Например для диэлектрического волоконного световода n(r)=n0(1– ar2/2)и ar2/2«1(a>0). Тогда уравнение (5.21) принимает вид: d2r/dz2 = – ar. Общее решение этого уравнения гармонических колебаний в пространстве хорошо известно. Это значит, что луч внутри такого световода имеет синусоидальную траекторию. 19Прохождение лучей в центрированных оптических системах. Рассмотрим прохождение лучей через сферическую линзу, не накладывая ограничений на ее толщину (рис.5.3). Обозначения видны из рисунка. Ось Z совпадает с осью линзы. Главной оптической осью линзы называется прямая, проходящая через центры кривизны ее поверхности (в данном построении это ось Z). Свет распространяется вдоль положительного направления оси Z. Луч света лежит в плоскости XZ. r1 и r2 – радиусы кривизны 1-й и 2-й сферических поверхностей линзы (r2 на рис.5.3 не показан, чтобы не загромождать рисунок). Весь расчет проводится в параксиальном приближении: (5.22) Преломление на первой сферической поверхности. В точке P1 закон Снеллиуса в параксиальном приближении имеет вид: (5.23) Используя геометрические соотношения между углами:(5.24) а в параксиальном приближении (5.25) из (5.23) получаем: (5.26) Кроме этого учтем соотношение (5.27) Система уравнений (5.26) и (5.27) позволяют, задав координаты падающего на первую поверхность линзы луча (n1a1 ; x1), найти координаты (n1/a1/ ; x1/) преломленного в линзе луча. Полученную систему удобно записать в матричном виде: (5.28) где величина k1=(n1/–n1)/r1 называется преломляющей силой первой поверхности, а матрица (5.29) называется преломляющей матрицей первой поверхности. Распространение луча внутри линзы. Преломленный луч в параксиальном приближении, пройдя внутри линзы, падает на её вторую поверхность на расстоянии x2 от оси: (5.30) Отметим, что величина D в параксиальном приближении практически равна толщине линзы А1А2 . С учетом, что получаем в матричном виде: (5.31) Матрица (5.32) описывает распространение луча от первой поверхности линзы ко второй и называется передаточной матрицей. Преломление луча на второй сферической поверхности рассматривается точно так же, как и на первой поверхности. Величина k2=(n2/ –n2)/r2 называется преломляющей силой второй поверхности, а матрица R2– преломляющей матрицей второй поверхности: (5.33) Знаки всех величин в приведенных выражениях необходимо брать с учётом правилазнаков: если встречаемая лучом преломляющая поверхность выпуклая, то её радиус кривизны надо брать с положительным знаком, а если вогнутая – с отрицательным; углы a, отсчитываемые от оси Z против часовой стрелки, положительны, а по часовой стрелке – отрицательны; расстояния, отсчитываемые по Z (по рис. 5.3 – слева направо), положительны, а против Z (справа налево) – отрицательны; расстояния от оси Z, отсчитываемые вверх, положительны, вниз – отрицательны. Распространение луча через оптическую систему. Используя (5.29), (5.31), (5.33), получаем связь между характеристиками на выходе линзы и входе в неё: (5.34) (5.35) (5.36) где a, b, c, d называются постоянными Гаусса. Независимыми являются только три из четырех постоянных Гаусса. Матрица S21 полностью описывает рассмотренную оптическую систему. Преобразование луча от плоскости предмета к плоскости изображения. Пусть из точки некоторой плоскости (плоскости предмета), расположенной на расстоянии l слева от точки А1 выходит луч с координатами (n1a1, x) и падает на рассматриваемую линзу. В некоторой плоскости, расположенной справа от точки А2 на расстоянии l/ луч характеризуется координатами (n2/a2/, x/). Между этими парами координат по приведенным выше правилам получаем соотношение: (5.37) (Знак l уже учтён)Перемножая матрицы в (5.37), имеем: (5.38) Матрица Q21 называется матрицей преобразования предмета к изображению: (5.39) Обозначим (5.40) – увеличение оптической системы. Введем понятие изображения. Под изображением понимается такое отображение плоскости предмета на плоскость, называемую плоскостью изображения, когда все лучи, исходящие от точки предмета, сходятся после преломления в оптической системе в одной точке плоскости изображения и все точки отображаются с одинаковым увеличением. Исходя из этого определения в точке изображения увеличение М не должно зависеть от угла a1. Поэтому соответствующий член в матрице Q21 обращается в нуль: (5.41) Из определения увеличения и выражения (5.40) имеем: (5.42) Тогда матрица преобразования от предмета к изображению принимает вид: (5.43) 20 Кардинальные элементы оптической системы. Плоскости H и H/, увеличение для точек которых М = 1, называются главными плоскостями, а их пересечения с осью системы (ось Z) – главными точками системы. Найдём из (5.42) их положение: (5.44) где lH – отсчёт положения плоскости H относительно точки А1; lH/ – отсчёт положения плоскости H относительно точки А2 . Точка на оси системы, в которой сходятся лучи, падающие на оптическую систему параллельно оптической оси (т.е. точка с увеличением M = 0) и точка, выйдя из которой лучи после прохождения оптической системы становятся параллельными оптической оси (т.е. с увеличением M = ¥), называются фокусами оптической системы. Плоскости, проходящие через фокусы перпендикулярно оптической оси, называются фокальными. Найдём из (5.42) их положение: (5.45) где lF– отсчёт положения переднего фокуса относительно точки А1 , lF/ – отсчёт положения заднего фокуса относительно точки А2 Расстояние f между передним фокусом и передней главной точкой называется передним фокусным расстоянием; расстояние f/между задним фокусом и задней главной точкой называется задним фокусным расстоянием: (5.46) Главные и фокальные плоскости называются кардинальными элементами оптической системы. Их положение позволяет полностью описать преломление лучей в оптической системе и построить изображение заданного предмета (рис). Физический смысл постоянных Гаусса. Пусть линза располагается в воздухе: n1 = n2/ = 1. Тогда из (5.46) следует: (5.47) т.е. a является величиной, обратной фокусному расстоянию. Из (5.45) и (5.47) имеем: (5.48) Коэффициенты b и c характеризуют взаимное расположение главных и фокальных плоскостей. Уравнение линзы. Из подобия треугольников CDF, ABC, FPA (рис.5.4) следует: (5.49) а из подобия треугольников A/D/F/, F/H/C/, A/B/C/ следует: (5.50) Из этих соотношений имеем: (5.51) а отсюда получаем уравнение линзы в форме Ньютона: (5.52) Из этих же уравнений можно получить уравнение линзы в форме Гаусса: (5.53) Увеличение линзы определяется из формулы: (5.54) |