1. Оптикой

• Название: 1. Оптикой
• Анкор: Shpori_optika.doc
• Дата: 02.05.2017
• Размер: 4.65 Mb.
• Имя файла: Shpori_optika.doc
• Тип: Документы; #6328
• страница: 4 из 10

17 Уравнение эйконала. Запишем волновое уравнение для световой волны в среде с коэффициентом преломления n=c/v:

(5.1)

В общем случае для монохроматической волны справедливо:(5.2)

Подставляя (5.2) в (5.1) находим уравнение для амплитуды Y(r), зависящей только от координаты:

(5.3)

где k₀=w/c – волновое число в вакууме. Волновое число в среде k=nk₀. Воспользуемся соотношением (для других координат будет аналогично):

(5.4)

Тогда (5.3) после деления на Y преобразуется к виду:

(5.5)

Решение этого уравнения ищем в виде:

(5.6)

Вещественная скалярная функция S(r) называется эйконалом(от греческого eikon – изображение). Подставляя (5.6) в (5.5), получаем:

(5.7)

Приравнивая нулю вещественную и мнимую части, получим два уравнения для определения А(r) и S(r):

(5.8)

Для оптического диапазона длина волны много меньше расстояния L, на которых амплитуда волны существенно меняется (порядка размера оптических элементов). Поэтому первыми двумя слагаемыми в первом уравнении (5.8) можно пренебречь (их сумма имеет порядок 1/L²). Тогда это уравнение в оптическом диапазоне принимает вид:

(5.9)

Это уравнение называется уравнением эйконала.

Градиент от функции S(r) направлен по нормали к поверхности S=const. Поэтому эйконал S описывает поверхности постоянной фазы волны, а ÑS приводит к понятию луча, т.е. к представлению о движении световой энергии в данной точке в определенном направлении. Лучом называется линия, касательная к которой совпадает в каждой точке с вектором ÑS. Распространение света рассматривается как движение световой энергии по лучам. Плоскость, перпендикулярная лучам света (где S = const), называется волновым фронтом.

Анализ распространения света в лучевом приближении составляет предмет геометрической оптики. Этот подход оправдан всегда, когда

. (5.10)

Физически этот член описывает искривление материальными объектами световых лучей, т.е. дифракцию света. Исходя из этого, можно сказать, что в геометрической оптике не учитываются дифракционные эффекты (см. гл.7).
Принцип Ферма. В однородной среде S=k×r (k=const) и лучи являются прямыми параллельными линиями, а фронт волны – плоскостью, перпендикулярной лучам.

Для неоднородной среды лучи имеют более сложную конфигурацию. Пусть точки P₁и P₂ соединяются лучом L (рис.5.1). Вычислим изменение фазы вдоль луча. Для каждой его точки имеем:

(5.11)

где dr направлен по лучу и совпадает с ÑS, dl – элемент длины пути. Для изменения фазы находим:
(5.12)

Интегрирование идет вдоль луча. Интеграл в (5.12) называется оптической длиной пути. Из (5.12) следует, что оптические длины путей вдоль различных лучей между точками волнового фронта в два момента времени одинаковы. Для любой другой кривой, соединяющей точки P₁и P₂ , оптическая длина пути оказывается больше, чем для реального луча.

Принцип Ферма (Fermat Pierre, 1601 – 1675) утверждает, что интеграл в (5.12) вдоль луча имеет стационарное значение, т.е. первая вариация dS относительно соседних путей интегрирования равна нулю. Или то же самое в другой формулировке: реальный луч отличается от остальных кривых, соединяющих две заданные точки, тем, что соответствующая ему оптическая длина имеет стационарное значение, т.е. малое изменение траектории не приводит к изменению оптической длины.

К принципу Ферма можно подойти и с другой стороны. Учтем что dt=dl / v – время прохождения пути dl со скоростью v, а n(r) = c / v(r). Тогда

(5.13)

где интеграл здесь дает время, затрачиваемое на прохождение пути от P₁и P₂. С этой точки зрения принцип Ферма звучит так: лучом, соединяющим две точки, является тот путь, который делает стационарным время, затрачиваемое светом на его прохождение. Формулировка о стационарности времени прохождения пути между двумя точками, с одной стороны, утверждает экстремальный характер этого времени, а с другой стороны, не исключает наличия нескольких путей с одинаковым временем прохождения.

Например, в геометрической оптике все лучи от точки предмета идут по различным путям и встречаются в точке изображения. Но все они затрачивают одно и то же время на прохождение своего пути. Другими словами, оптические длины всех путей, соединяющих точку предмета с точкой изображения, одинаковы (принцип таутохронизма).

18 Вывод закона преломления из принципа Ферма. Пусть требуется соединить лучом две точки P₁и P₂ , находящиеся в однородных средах с коэффициентами преломления n₁и n₂, разделенных плоской границей (рис. 5.2). В каждой однородной среде луч – прямая линия. Из геометрии рисунка получаем для полного времени распространения света между точками P₁и P₂:

(5.14)

Условие стационарности принимает вид:

(5.15)
Учитывая, что получаем соотношение , полностью совпадающее с законом Снеллиуса: (5.16)

Распространение луча в среде с переменным коэффициентом преломления. Пусть свет распространяется в среде с аксиально-симметричным изменением коэффициента преломления. Луч распространяется вдоль положительного направления этой оси Z в параксиальном приближении. Расстояние от оси – r. Из закона Снеллиуса для бесконечно тонкого слоя Dr имеем:

(5.17)

Разложим n(r + Dr) в ряд Тейлора и ограничимся линейным по Dr членом:

(5.18)

В параксиальном приближении sinDa » Da; cosDa » 1. Тогда с учетом линейного приближения получаем:

(5.19)

Т.к. tga₁ = Dr / Dz , то в параксиальном приближении:

(5.20)

С учетом (5.20) из (5.19) находим уравнение распространения луча:

(5.21)

Например для диэлектрического волоконного световода n(r)=n₀(1– ar²/2)и ar²/2«1(a>0). Тогда уравнение (5.21) принимает вид: d²r/dz² = – ar. Общее решение этого уравнения гармонических колебаний в пространстве хорошо известно. Это значит, что луч внутри такого световода имеет синусоидальную траекторию.
19Прохождение лучей в центрированных оптических системах. Рассмотрим прохождение лучей через сферическую линзу, не накладывая ограничений на ее толщину (рис.5.3). Обозначения видны из рисунка.

Ось Z совпадает с осью линзы. Главной оптической осью линзы называется прямая, проходящая через центры кривизны ее поверхности (в данном построении это ось Z). Свет распространяется вдоль положительного направления оси Z. Луч света лежит в плоскости XZ. r₁ и r₂ – радиусы кривизны 1-й и 2-й сферических поверхностей линзы (r₂ на рис.5.3 не показан, чтобы не загромождать рисунок). Весь расчет проводится в параксиальном приближении:

(5.22)
Преломление на первой сферической поверхности. В точке P₁ закон Снеллиуса в параксиальном приближении имеет вид:

(5.23)

Используя геометрические соотношения между углами:(5.24)

а в параксиальном приближении

(5.25)

из (5.23) получаем:

(5.26)

Кроме этого учтем соотношение (5.27)

Система уравнений (5.26) и (5.27) позволяют, задав координаты падающего на первую поверхность линзы луча (n₁a₁ ; x₁), найти координаты (n₁^/a₁^/ ; x₁^/) преломленного в линзе луча. Полученную систему удобно записать в матричном виде:

(5.28)

где величина k₁=(n₁^/–n₁)/r₁ называется преломляющей силой первой поверхности, а матрица

(5.29)

называется преломляющей матрицей первой поверхности.

Распространение луча внутри линзы. Преломленный луч в параксиальном приближении, пройдя внутри линзы, падает на её вторую поверхность на расстоянии x₂ от оси:

(5.30)

Отметим, что величина D в параксиальном приближении практически равна толщине линзы А₁А₂ . С учетом, что получаем в матричном виде:

(5.31)

Матрица (5.32)

описывает распространение луча от первой поверхности линзы ко второй и называется передаточной матрицей.

Преломление луча на второй сферической поверхности рассматривается точно так же, как и на первой поверхности. Величина k₂=(n₂^/ –n₂)/r₂ называется преломляющей силой второй поверхности, а матрица R₂– преломляющей матрицей второй поверхности:

(5.33)

Знаки всех величин в приведенных выражениях необходимо брать с учётом правилазнаков: если встречаемая лучом преломляющая поверхность выпуклая, то её радиус кривизны надо брать с положительным знаком, а если вогнутая – с отрицательным; углы a, отсчитываемые от оси Z против часовой стрелки, положительны, а по часовой стрелке – отрицательны; расстояния, отсчитываемые по Z (по рис. 5.3 – слева направо), положительны, а против Z (справа налево) – отрицательны; расстояния от оси Z, отсчитываемые вверх, положительны, вниз – отрицательны.

Распространение луча через оптическую систему. Используя (5.29), (5.31), (5.33), получаем связь между характеристиками на выходе линзы и входе в неё:

(5.34)

(5.35)

(5.36)

где a, b, c, d называются постоянными Гаусса. Независимыми являются только три из четырех постоянных Гаусса. Матрица S₂₁ полностью описывает рассмотренную оптическую систему.

Преобразование луча от плоскости предмета к плоскости изображения. Пусть из точки некоторой плоскости (плоскости предмета), расположенной на расстоянии l слева от точки А₁ выходит луч с координатами (n₁a₁, x) и падает на рассматриваемую линзу. В некоторой плоскости, расположенной справа от точки А₂ на расстоянии l^/ луч характеризуется координатами (n₂^/a₂^/, x^/). Между этими парами координат по приведенным выше правилам получаем соотношение:

(5.37)

(Знак l уже учтён)Перемножая матрицы в (5.37), имеем:

(5.38)

Матрица Q₂₁ называется матрицей преобразования предмета к изображению:

(5.39)

Обозначим (5.40)

– увеличение оптической системы. Введем понятие изображения. Под изображением понимается такое отображение плоскости предмета на плоскость, называемую плоскостью изображения, когда все лучи, исходящие от точки предмета, сходятся после преломления в оптической системе в одной точке плоскости изображения и все точки отображаются с одинаковым увеличением.

Исходя из этого определения в точке изображения увеличение М не должно зависеть от угла a₁. Поэтому соответствующий член в матрице Q₂₁ обращается в нуль:

(5.41)

Из определения увеличения и выражения (5.40) имеем:

(5.42)

Тогда матрица преобразования от предмета к изображению принимает вид:

(5.43)

20 Кардинальные элементы оптической системы. Плоскости H и H^/, увеличение для точек которых М = 1, называются главными плоскостями, а их пересечения с осью системы (ось Z) – главными точками системы. Найдём из (5.42) их положение:

(5.44)

где l_H – отсчёт положения плоскости H относительно точки А₁; l_H^/ – отсчёт положения плоскости H относительно точки А₂ . Точка на оси системы, в которой сходятся лучи, падающие на оптическую систему параллельно оптической оси (т.е. точка с увеличением M = 0) и точка, выйдя из которой лучи после прохождения оптической системы становятся параллельными оптической оси (т.е. с увеличением M = ¥), называются фокусами оптической системы. Плоскости, проходящие через фокусы перпендикулярно оптической оси, называются фокальными. Найдём из (5.42) их положение:

(5.45)

где l_F– отсчёт положения переднего фокуса относительно точки А₁ , l_F^/ – отсчёт положения заднего фокуса относительно точки А₂ Расстояние f между передним фокусом и передней главной точкой называется передним фокусным расстоянием; расстояние f^/между задним фокусом и задней главной точкой называется задним фокусным расстоянием:

(5.46)

Главные и фокальные плоскости называются кардинальными элементами оптической системы. Их положение позволяет полностью описать преломление лучей в оптической системе и построить изображение заданного предмета (рис). Физический смысл постоянных Гаусса. Пусть линза располагается в воздухе: n₁ = n₂^/ = 1. Тогда из (5.46) следует:

(5.47)

т.е. a является величиной, обратной фокусному расстоянию. Из (5.45) и (5.47) имеем:

(5.48)

Коэффициенты b и c характеризуют взаимное расположение главных и фокальных плоскостей.

Уравнение линзы. Из подобия треугольников CDF, ABC, FPA (рис.5.4) следует:

(5.49)

а из подобия треугольников A^/D^/F^/, F^/H^/C^/, A^/B^/C^/ следует:

(5.50)

Из этих соотношений имеем:

(5.51)

а отсюда получаем уравнение линзы в форме Ньютона:

(5.52)

Из этих же уравнений можно получить уравнение линзы в форме Гаусса:

(5.53)

Увеличение линзы определяется из формулы:

(5.54)