1. Оптикой

• Название: 1. Оптикой
• Анкор: Shpori_optika.doc
• Дата: 02.05.2017
• Размер: 4.65 Mb.
• Имя файла: Shpori_optika.doc
• Тип: Документы; #6328
• страница: 2 из 10

Складывая почленно (2.55) и (2.56) и обозначив

(2.57) получаем:

(2.58)

Две плоские монохром. бегущие ЭМВ с одинаковой частотой, распростр. в одном и том же напр., в результате сложения дают плоскую монохроматическую ЭМВ той же частоты, распр. в том же направлении.

Биения. Рассмотрим случай, когда w₁ ¹ w₂ , E₁ || E₂ :

(2.59)

В соответствии с принципом суперпозиции имеем: (2.60)
Мы получили незатухающую бегущую в сторону +Z немонохроматическую волну. Т.к. в оптическом диапазоне обычно | w₁ – w₂ | << w₁ + w₂ , то сомножитель в (2.60) является медленно меняющейся амплитудой ЭМВ с частотой (w₁ + w₂) / 2 (см. рис.2.3). Гармонические колебания с медленно изменяющейся амплитудой называются биениями. Понятие «медленно изменяющаяся амплитуда» определяется относительно основного гармонического колебания: амплитуда мало меняется в течение многих периодов основного гармонического колебания. Частота W = |w₁ – w₂| называется частотой биений. Стоячие волны. Рассм. суперпозицию двух монохроматических волн с w₁ = w₂ = w , E₁₀= E₂₀ = E₀ , E₁ || E₂ и распространяющихся навстречу друг другу:

(2.61)

где d – разность фаз. Тогда

(2.62)
Сомножитель с точностью до знака можно рассматривать как амплитуду колебаний напряженности поля в заданной точке z . Она изменяется от точки к точке по гармоническому закону. Напряженность во всех точках изменяется с одинаковой частотой в одной фазе. Такая волна называется стоячей. В точках оси Z, где поле E = 0 (такие точки называются узлами). В точках оси Z, где поле E – максимально (такие точки называются пучностями). Расстояние между узлами (или пучностями) равняется половине длины бегущей волны – l/2. Кроме того, колебания напряженности во всех точках стоячей волны в некоторый момент времени находятся в одной и той же фазе (например, E = 0 во всех z при ), тогда как колебания напряженности электрического поля в различных точках бегущей волны не совпадают по фазе.

Магнитная индукция в данном случае получается из суперпозиции магнитных индукций волн:

(2.63)

Суммарное поле отыщется в виде: (2.64)

Видно, что вектор B также образует стоячую волну, узлы которой совпадают с пучностями стоячей волны E (рис.2.4).По времени колебаний электрического и магнитного полей стоячей ЭМВ отличаются по фазе на четверть периода колебаний. Это означает, что если E достигает максимума, то B = 0, если же E растет, то B уменьшается.

Преобразование энергии в стоячей волне. Т.к. , то поток энергии отсутствует в точках, где E = 0 или B = 0 (H = 0). Поток энергии через узлы и пучности в такой волне отсутствует. Поэтому с течением времени энергия движется между соседними узлами и пучностями, превращаясь из энергии магнитного поля в энергию электрического поля и наоборот, а пользуясь формулой для объемной плотности энергии электромагнитного поля

(2.65)

можно сказать, что энергия стоячей волны, заключенная между соседними узлами и пучностями, остается постоянной с течением времени.

6 Поляризация электромагнитных волн. Если для продольных волн (например, звуковых) все направления, перпендикулярные направлению распространения волн, равноправны, то для электромагнитных, т.е. поперечных волн они не равноправны. Поляризация света – это физическая характеристика оптического излучения, описывающая поперечную анизотропию световых волн, т.е. неэквивалентность различных направлений в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Представление о поляризации света как его особом физическом свойстве впервые ввел И. Ньютон (Newton Isaak, 1643–1727) в 1704 г. Сам термин «поляризация» принадлежит французскому инженеру и физику Э. Малюсу (Malus Etienne, 1775–1812). Световые волны, у которых направления колебаний векторов электрического E и магнитного H полей сохраняются неизменными в пространстве или изменяются по определенному закону, называются поляризованными.

Если вектор E световой волны колеблется лишь в одной неизменной в пространстве плоскости, то такая волна называется линейноилиплоскополяризованной. При линейной поляризации плоскость, содержащая волновой вектор k и вектор E, называется плоскостью поляризации волны.

Если же колебания вектора E совершаются так, что его конец описывает окружность в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны k, то такая волна называется поляризованнойпокругу, еслиэллипс, то эллиптическиполяризованной.

Световая волна, в которой различные направления вектора E в поперечной к направлению распространения волны плоскости равновероятны, называется естественной(естественнополяризованнойилинеполяризованной).

Суперпозиция двух линейно поляризованных волн.Рассмотрим суперпозицию двух линейно поляризованных волн с одинаковыми частотами w, амплитудами электрических полей E₁ и E₂, распространяющихся в одном направлении (вдоль оси Z декартовой системы координат) со сдвигом фаз d. Пусть вектор E₁ колеблется в плоскости XZ, а вектор E₂ – в плоскости YZ: (2.66)

Найдем состояние поляризации суммарной волны, определяемой суперпозицией полей E ={E_x; E_y; E_z}= E₁+E₂, складывая покоординатно поля (2.66). Второе уравнение в (2.66) перепишем в виде:

(2.67)

Исключая в (2.67) с помощью (2.66) и , получаем:

(2.68)

После перегруппировки получаем окончательно уравнение, описывающее состояние поляризации суммарного поля в общем виде: (2.69)
7. Волна с круговой и элептической поляриз.Рассмотрим основные случаи состояния поляризации. Если , то уравнение (2.69) принимает вид: (2.70)
При это выражение является уравнением эллипса с центром в начале системы координат и осями, направленными вдоль осей X и Y (рис.2.5). Поляризация при этом называется эллиптической. Если при наблюдении навстречу волне вращение вектора E в фиксированной плоскости (перпендикулярной волновому вектору) происходит по часовой стрелке, то такая волна называется правойэллиптически поляризованной волной, если против часовой стрелки – левой эллиптически поляризованной волной.

Если , то эллипс вырождается в окружность. Такая поляризация называется круговойили циркулярной. Понятия правой и левой круговой поляризации применимы здесь аналогично определенным выше для эллиптической поляризации.

При (общий случай выражения (2.69)) поляризация является также эллиптической, главные оси эллипса не совпадают с осями координат (рис.2.6). Ориентация эллипса зависит от сдвига фаз d. При этом эллиптичность поляризации остается и при .

При уравнение (2.69) описывает прямые:
(2.71)

Конец суммарного вектора электрического поля движется вдоль соответствующего отрезка прямой (2.71) (рис.2.7). Получаемая линейно поляризованнаяволнаявляется предельным случаем эллиптически поляризованной волны.

Видно, что световая волна с любой поляризацией может быть представлена в виде суперпозиции двух линейно поляризованных во взаимно-перпендикулярных плоскостях волн. Поэтому можно сказать, что электромагнитные волны обладают двумя независимыми состояниями поляризации.

Рассмотрим противоположный случай – суперпозицию волн с левой и правой круговыми поляризациями. Пусть при некоторой фиксированной координате z заданы компоненты их полей E₁ (левая) и E₂ (правая):

(2.72)

В результате их суперпозиции получается линейно поляризованная волна с

(2.72)

Если между двумя круговыми волнами в (2.71) есть сдвиг фаз, то результирующий вектор линейно поляризованной волны будет колебаться в плоскости, расположенной под некоторым углом к оси X.

Усреднения. Если в физических теориях обычно пользуются мгновенными значениями величин, то в физическом эксперименте измеряют средние значения величин по некоторому объему и промежутку времени:

(2.73)

где DV и Dt – соответственно объем и интервал времени усреднения.

Результат усреднения зависит от размеров области усреднения. Масштабы изменения f, меньшие области усреднения, не фиксируются в усредненных величинах. Если в области усреднения DV в любой момент промежутка времени Dt усреднения величина f изменяется незначительно и этим изменением можно пренебречь, то все операции усреднения в этом случае сводятся к усреднению по времени:

(2.74)

Отметим, что из определения операции усреднения следует, что эта операция является линейной.

Усреднение гармонических функций. Воспользуемся известными формулами для определенных интегралов. Так как

(2.75)

и , то

(2.76)

Результатом усреднения гармонической функции является гармоническая функция с той же частотой, но с амплитудой, умноженной на .Амплитуда усредненной гармонической функции быстро убывает с увеличением Dt. В оптике при w 10¹⁵ с^-1 нет приборов, измеряющих напряженности полей за время 1/w , а регистрируются лишь усредненные по многим периодам колебаний значения. Усреднение квадратов гармонических функций. Получим аналогичные выражения для квадратов гармонических функций:
(2.77)

При увеличении интервала времени среднения Dt среднее значение квадрата гармонической функции, колеблясь, стремится к постоянному значению 1/2.

8 Классическая электронная теория дисперсии.

В диэлектриках скорость световых ЭМВ зависит от частоты. Это явление называется дисперсией. Влияние дисперсии проявляется лишь в распространении немонохроматических волн, т.к. ее монохроматические составляющие с различными частотами распространяются с различными скоростями. Дисперсия является следствием зависимости поляризованности атомов от частоты. Для нахождения явного вида e(w), входящей в материальные уравнения, воспользуемся микроскопической классической теорией взаимодействия электромагнитного поля волны с веществом. Микроскопическая теория исходит из некоторой идеализированной модели строения вещества. Наибольшей простотой отличается модель газообразной среды, т.к. для нее в первом приближении можно не учитывать взаимодействие атомов или молекул и считать, что действующее на отдельный атом поле совпадает со средним полем ЭМВ. В таких условиях для получения макроскопического материального уравнения достаточно рассмотреть действие поля ЭМВ на изолированный атом. Вообще говоря, применять классическую теорию к таким процессам нужно крайне осторожно. Но в данном случае квантовая теория дисперсии приводит к таким же результатам, что и классическая.

В классической теории дисперсии электрон, с которым взаимодействует электромагнитное поле (внешний, или оптический электрон), в атоме рассматривается как затухающий дипольный осциллятор, характеризуемый определенной собственной частотой w_о и постоянной затухания g, так что уравнение его движения в поле E(t) = E_oe^–iwt световой волны имеет вид:

(4.5)

где r – смещение электрона из положения равновесия. Будем искать решение этого уравнения в виде:

. (4.6)

В результате получим:

. (4.7)

Дипольный момент атома p(t), индуцированный полем E(t):

. (4.8)

Если N – концентрация электронов с собственной частотой колебаний w₀, то поляризованность P среды определяется следующим образом:

. (4.9)

С другой стороны поляризованность среды (поляризациясреды) равна, (4.10)

где c – линейнаядиэлектрическаявосприимчивостьсреды, которая вообще говоря, зависит от частоты w. Учтем также, что векторы D, E и P связаны соотношением:

. (4.11)

Тогда из (4.10) и (4.11) следует, что для относительной проницаемости:, (4.12)

а из (4.8), (4.9), (4.10) имеем:

(4.13)или . (4.14)

Т.к. , то это значит, что показатель преломления, а следовательно, и скорость ЭМВ зависят от частоты. Видно также, что n – комплексная величина:

. (4.15)

Тогда с учетом (4.14) имеем уравнения:

(4.16)

Для прозрачных или частично прозрачных в оптическом диапазоне диэлектриков g очень мало. Тогда

. (4.17)

Из этого приближения получаем:

. (4.18)

Если в среде дисперсию определяют различные ансамбли электронов с собственными частотами w_0i и концентрацией N_i , то формулу (4.18) можно обобщить:

. (4.19)

В этой формуле не учтены колебания ионов. Т.к. их масса много больше массы электронов, то собственные частоты ионов лежат в дальней инфракрасной области.

9 Нормальная дисперсия. Вдали от собственных резонансов величина близка к 1 (для прозрачных диэлектриков, разреженных газов):

.(4.20)
Тогда

. (4.21)

Графическая зависимость (дисперсионнаякривая) имеет вид рис.4.1.

Если действительная часть показателя преломления увеличивается с ростом частоты, то дисперсия называется нормальной. Нормальная дисперсия наблюдается во всей области прозрачности диэлектриков.Для малых частот (w << w_0i) формула (4.21) дает статическое значение показателя преломления:

. (4.22)

Это значение может существенно отличаться от значения показателя преломления для оптических частот. (Например, для воды в области оптических частот n = 1,33 , а статическое значение . (Иллюстрация вкладов ионов в дисперсию.))

Для больших частот (w >> w_0i ) , при этом

.(4.23)

Т.о. для коротковолнового излучения диэлектрик является оптически менее плотной средой, чем вакуум. Например, для рентгеновского излучения может наблюдаться полное отражение. Кроме того, при очень больших частотах характер связи электронов роли не играет, а показатель преломления n зависит лишь от общей концентрации всех электронов.

Аномальная дисперсия. Пренебрежение затуханием (g = 0) привело к тому, что при w = =w_0i . Но вблизи собственных частот нельзя пренебречь g. Тогда является непрерывной функцией. Разделение мнимых и вещественных частей согласно (4.15) дает (с учетом приближения ):

4.24)
Дисперсионные кривые (4.24) представлены на рис.4.2.
Вблизи резонансной частоты w₀ показатель преломления с ростом частоты уменьшается. Это

явление называется аномальнойдисперсией.