1. Оптикой

• Название: 1. Оптикой
• Анкор: Shpori_optika.doc
• Дата: 02.05.2017
• Размер: 4.65 Mb.
• Имя файла: Shpori_optika.doc
• Тип: Документы; #6328
• страница: 7 из 10

31 Зонная пластинка. Закроем все нечетные зоны, оставив открытыми четные (или наоборот). В результате получится пластинка, называемая зонной пластинкой. Из рис. 7.3 видно, что амплитуды поля в точке P будут определяться суммой сонаправленных векторов и т.д. Поэтому осуществляется интерференция волн с усилением. Следовательно, в точке P на оси происходит значительное усиление интенсивности света (примерно в m² большее, чем дает отверстие в одну зону), т.е. в этой точке свет фокусируется. Зонная пластинка ведет себя как линза. Найдем фокусное расстояние f такой линзы. Будем считать, что лучи падают на зонную пластинку параллельно оси системы, т.е. R = ¥. Тогда точка P является фокусом. Формула (7.5) примет вид:

(7.8)

Следовательно фокусное расстояние равно:

(7.9)

Формула такой линзы принимает вид:

(7.10)

В отличие от обычной линзы зонная пластинка имеет несколько фокусов на оси системы в зависимости от количества открытых зон. Отметим, что и расположение зон Френеля на волновом фронте зависит от геометрии рассматриваемой системы.

Интенсивность света в фокусе можно увеличить еще в 4 раза по сравнению с зонной пластинкой, если изменить на p фазы вторичных волн, исходящих от всех нечетных (или наоборот – четных) зон. Это можно сделать, например, химическим травлением стеклянной пластинки в нужных местах, чтобы ее толщина там уменьшилась на (n – 1)l/2. В этом случае вторичные волны от всех точек волновой поверхности приходят в точку фокуса в одинаковых фазах. Такая дифракционная линза называется линзой Френеля. Трудности метода зон Френеля. Метод зон Френеля приводит к результатам, которые хорошо согласуются с экспериментом для практически важных случаев, когда размеры препятствий много больше длины волны. Однако метод имеет существенные недостатки:

1. 
   Он не решает вопроса о законе ослабления амплитуды вторичных волн в зависимости от направления распространения. Эту зависимость приходится постулировать.
   
2. 
   Метод Френеля дает неправильную фазу волны. Фаза на фронте волны принимается по определению равной нулю. Поэтому амплитуда волны задается вектором (рис.7.3). Вычисленная по методу Френеля амплитуда задается вектором , т.е. отличается от фактической фазы волны на p/2. Хотя для многих практических явлений, зависящих от модуля амплитуды, эта разница в фазах несущественна, она все же с теоретической точки зрения имеет принципиальный характер. Это удается объяснить лишь в более строгой теории дифракции, основанной на интеграле Кирхгофа.
   

32 Приближение Кирхгофа.

Из теоремы Остроградского–Гаусса

(7.11)

положив находим:

(2-я формула Грина) (7.11)

Производные в правой части (7.11) берутся по длине параллельно внешней нормали к замкнутой поверхности S. V – объем, ограниченный поверхностью S. Функции G и Ф вместе со своими первыми и вторыми частными производными непрерывны внутри V и на S .

Рассмотрим монохроматическую волну

(7.12)

Подставляя это выражение в волновое уравнение, получим для пространственно зависящей амплитуды:

(k – волновое число) (7.13)

Пусть объем V ограничен поверхностью S. Точка P₀ – фиксированная точка внутри этого объема (начало отсчета), P₁ – переменная точка, отличная от P₀ и характеризуемая радиус-вектором r₀₁. Функция

(7.14)

удовлетворяет уравнению (7.13) всюду, кроме точки P₀ . В P₀ функция G обращается в бесконечность, а ее производные терпят разрыв. Значит во всем объеме V формулу Грина применять нельзя. Окружим точку P₀ малой сферой S₁ (и объемом V₁) радиусом e с центром в P₀ . Вне объема V₁ мы имеем право применять формулу Грина. Т.к.

(7.15)

то (7.16)

Отметим, что внешняя нормаль n к S₁ направлена внутрь V₁ . Из (7.16) получаем:

(7.17)

Для точек P₁ на поверхности S имеем:

(7.18)

Индекс 1 в grad показывает, что grad вычисляется по координатам точки P₁ , т.е. grad₁ r₀₁ = r₀₁ / r₀₁. Очевидно, что grad₀ r₀₁ = r₁₀ / r₁₀ . Отсюда grad₁ r₀₁ = – grad₀ r₀₁ Для точек P₁ на S₁ справедливо:

(7.19)

При получаем:

(7.20)

Поэтому из (7.20) и (7.17) имеем:

(7.21)

Это интегральное уравнение называется интегральной теоремой Гельмгольца-Кирх­го­фаи является основой скалярной теории дифракции. Она позволяет вычислить значение функции Ф в любой точке внутри объема, если известны значения функции и ее производной по нормали на поверхности, ограничивающей этот объем. Для того, чтобы (7.21) использовать не как интегральное уравнение для Ф, а как формулу для вычисления Ф(P₀) по известным значениям этой функции и ее производной в точках плоского экрана, Кирхгоф предложил следующие правила для определения их значений в плоскости экрана (приближение Кирхгофа):

1. 
   На отверстиях Ф и ¶Ф/¶n имеют те же значения, какие они имели бы при отсутствии непрозрачных частей экрана.
   
2. 
   На непрозрачных частях экрана Ф = 0 и ¶Ф/¶n = 0.
   

Выбор граничных условий в соответствии с этими правилами приводит к решению задач дифракции в приближении Кирхгофа. Граничные условия Кирхгофа никогда точно не выполняются, т.к.:

• 
  на краях отверстий должны соблюдаться определенные граничные условия, которые можно найти в соответствии с электромагнитной теорией света;
  
• 
  за экраном не может быть резкой тени, т.е. скачкообразного обращения Ф в нуль.
  

Приближение Кирхгофа хорошо работает при линейных размерах отверстий (или экранов) много больших длины волны.
Оптическое приближение. В видимом диапазоне как правило соблюдается условие:

(оптическое приближение) (7.22)

При его выполнении (7.21) принимает вид:

(7.23)

33 Формула дифракции Френеля-Кирхгофа. Пусть на отверстие падает сферическая волна, исходящая из точки P₂ (рис.7.5):

(7.24)

Учитывая (7.18) и (7.23), получим в оптическом приближении:

(7.25)

где S₀ – площадь отверстия. (На непрозрачных частях экрана подынтегральное выражение равно нулю.) (7.25) называется формулой дифракции Френеля-Кирхгофа. Из (7.25) видно, что точечный источник, помещенный в P₂ , даст в точке такой же эффект, как и эффект, создаваемый в точке P₂ таким же точечным источником, расположенным в P₀ (теорема взаимности Гельмгольца).

Вторичные источники. Обозначим:

(7.26)

Тогда (7.25) примет вид:

(7.27)

Видно, что отличие вторичных источников на отверстии S₀от волны заключается в следующем:

1. 
   Амплитуда вторичной волны отличается от амплитуды падающей волны множителем k/4p
   
2. 
   Зависимость амплитуды вторичной волны от направления распространения дается множителем , который отличается от множителя, предлагавшегося Френелем.
   
3. 
   Фаза вторичного источника отличается от фазы падающей волны на p/2 из-за множителя – i .
   

Таким образом, в приближении Кирхгофа в рамках электромагнитной теории света удается преодолеть трудности метода зон Френеля.

Приближение Френеля. Пусть дифракционная картина наблюдается в плоскости (плоскости дифракционной картины), параллельной экрану с отверстиями (плоскости источников), l – расстояние между этими плоскостями. В каждой плоскости введем системы координат, как показано на рис.7.6. P₀ – точка наблюдения. – амплитуда источников. . Тогда

(7.28)

Члены с косинусами являются медленно меняющимися функциями по сравнению с быстро осциллирующей экспонентой. Кроме того, углы обычно на практике изменяются в небольших пределах вблизи нуля. Тогда (7.28) с учетом этого приближения упрощается:
(7.29)

При малых углах обычно соблюдаются и следующие неравенства:

(7.30)

Тогда с учетом этого разложим r в ряд по (7.30) и ограничимся квадратичными членами:

(7.31)

где медленно изменяющаяся величина r » l в знаменателе вынесена за интеграл, т.к. она на влияет на видность интерференционной картины, а только слабо влияет на общую яркость.

Полученное приближение называется приближением Френеля, а соответствующая ему дифракция – дифракцией Френеля.

34Дифракция Фраунгофера. Разложим показатель экспоненты в (7.31):

. (7.32)

Тогда (7.31) перепишется в виде:

(7.33)

Если рассматривать в дальнейшем относительное распределение интенсивности, а не поля в дифракционной картине, то наличие комплексных экспонент перед интегралом можно не учитывать. С другой стороны, если учесть, что на непрозрачных частях экрана, то интегрировать можно по координатам от –¥ до +¥. Поэтому с точностью до множителей функция Ф(x,y) является Фурье–образом функции f(x’,y’) в (7.33) и для изучения дифракционных эффектов можно воспользоваться формализмом преобразований Фурье. При определенных условиях можно перейти и к Фурье–образу от функции без экспоненциального множителя. Это можно осуществить при достаточно малых размерах отверстия и при . Дифракция при этом называется дифракцией Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах). Пренебречь экспонентой можно не только при , но и при условии, чтобы она не осциллировала (показатель не должен превышать p/4, т.е. Re > Im). Т.о., область дифракции Фраунгофера простирается от бесконечности до некоторого минимального значения:

(7.34)

где r’ – максимальное расстояние от центра до края отверстия, на котором происходит дифракция. Дифракцию в этой области можно наблюдать на экране без дополнительных устройств. Однако проще наблюдать в фокальной плоскости линзы, расположенной после объекта. Формула (7.33) в области дифракции Фраунгофера принимает вид:

. (7.35)

Отметим, что здесь еще необходимо при практических расчетах учесть множитель перед интегралом, определяющий размерность.
35 Дифракция на прямоугольном отверстии (рис.7.7). Отверстие имеет стороны a и b. На отверстии фаза и амплитуда плоской волны постоянна. Комплексная амплитуда волны на отверстии обозначим A₀. Тогда, применяя формулу (7.35), получаем для амплитуды поля при дифракции: , (7.36)

где .

Интенсивность в дифракционной картине с точностью до постоянного множителя имеет вид (см. рис.7.8):

. (7.37)

Дифракция на щели.

Рассмотрим падение плоской монохроматической световой волны на бесконечную щель шириной b (рис.7.9). Участок dx, находящийся на расстоянии x от левого края щели (начала координат), в направлении Z’ излучает плоскую волну с запаздыванием фазы относительно точки О на kx×sinj. Угол j отсчитывается от оси Z – нормали к щели (первоначального направления падающей волны), k – волновое число падающей волны. При записи амплитуды волны учтем, что вся щель в направлении j = 0 посылает излучение с амплитудой E₀. Предполагая равномерное распределение амплитуды по щели, получим, что участок dx щели пошлет в направлении Z’ волну dE₁с амплитудой E₀dx/b :
(7.39)

Отсюда имеем для амплитуды волны от всей щели:

(7.40)

После несложного интегрирования и перехода от поля к интенсивности, получаем интенсивность дифракционной картины:

(7.41)
где I₀ = E₀² ; I₁ = E₁² ; . (7.42)

Проанализируем выражение (7.41).

1. 
   При j = 0 u =0. Используя соотношение , получаем, что в центре дифракционной картины интенсивность максимальна и равна I₀ .
   
2. 
   При углах j, для которых sinu = 0, а u ¹ 0 интенсивность света обращается в нуль. Тогда условие минимума дифракционной картины на одиночной щели принимает вид:
   

(7.43)

3. Основная часть потока энергии сосредоточена в пределах изменения угла дифракции j между первыми (n = ±1) симметричными максимумами. График зависимости (7.41) приведен на рис.7.10.

4. Чем меньше (уже) щель, тем шире центральный максимум. Нетрудно заметить, что при b » l центральный максимум расплывается на всю полуплоскость (j » p/2). Дальнейшее уменьшение щели приводит лишь к монотонному уменьшению интенсивности прошедшего света.


Изучение картины дифракции дает информацию о ширине щели, если известна длина волны используемого света. Наоборот, зная ширину щели, можно найти длину волны. Таким образом, дифракционная картина от данного объекта имеет характерный вид, позволяющий получать информацию о размерах этого объекта. Отмеченное обстоятельство носит достаточно общий характер и лежит в основе метрологического применения дифракционных явлений.
37 Дифракция на круглом отверстии. Пусть R – радиус отверстия. Расчет удобнее вести в полярных координатах (r, q) и (r’, q’) в плоскостях отверстия и дифракционной картины:

(7.44)

Тогда (7.35) для этого случая запишется в виде:

(7.45)

где – функция Бесселя m-го порядка. Воспользуемся свойством функций Бесселя:

. (7.46)

Тогда получаем (рис.7.11):

. (7.47)


Интенсивность дифракционной картины определяется квадратом этой функции, т.е. в центре картины имеется светлое круглое пятно, окруженное темными и светлыми кольцами. Максимумы интенсивности быстро убывают. Радиусы колец определяются из корней функции Бесселя J₁ (r)=0. Т.к. существует приближенное соотношение , то качественно распределение интенсивности выглядит примерно так же, как и на рис.7.10. Угловой размер центрального светлого пятна (диска Эйри), наблюдаемого из центра круглого отверстия, равен:
. (7.48)


38 Дифракционная решетка. Прозрачная (амплитудная) дифракционная решетка представляет собой правильную плоскую структуру из большого количества параллельных щелей с шириной каждой щели b и расстоянием d между соседними щелями. Расстояние d чаще называют периодомилипостоянной дифракционной решетки (рис.7.12). Пусть на эту решетку нормально падает плоская монохроматическая волна. Найдем интенсивность света I в дифракционной картине.
Методика расчета и система обозначений та же, что и для одиночной щели. От элемента dx какой-то n-й щели в исследуемом направлении распространяется волна вида:
(7.49)

Вся n-я щель пошлет волну вида:

(7.50)

Для учета действия всех щелей по принципу суперпозиции можно сложить все образовавшиеся напряженности поля:

(7.51)

где N – полное число щелей, участвующих в дифракции. Множитель с интегралом был посчитан выше для случая одной щели. Он не зависит от n и может быть вынесен за знак суммы. Введем обозначение:

(7.52)

Сумма в (7.51) представляет собой сумму N членов геометрической прогрессии. Тогда (7.51) перепишется в виде:

(7.53)

Интенсивность света в дифракционной картине получается умножением (7.53) на комплексно сопряженную величину I=EE^* :

(7.54)

Множитель (sinu/u)² характеризует распределение интенсивности в результате дифракции плоской волны на каждой щели и является огибающей всей дифракционной картины, а множитель (sinNd/sind)² учитывает интерференцию между волнами, исходящими от всех щелей. Множитель I₀ определяет интенсивность света, излучаемого в направлении j = 0, которая зависит от потока энергии, падающего на решетку света. Вид дифракционной картины показан на рис.7.13.

Величина dsinj равна разности хода между волнами, испускаемыми двумя эквивалентными точками соседних щелей. Условие главных максимумов для дифракционной решетки определяется формулой:

(7.55)
А условие (7.43) определяет положение минимумов огибающей. Наклонное падение света на дифракционную решетку. Пусть параллельный пучок света падает на дифракционную решетку под углом q (рис.7.14). Как и прежде дифракционные максимумы будут наблюдаться при разности хода волн, идущих от одинаковых точек соседних щелей, равной целому числу длин волн:
(7.56)

где j_m – направление на m-й максимум. При , как правило, углы дифракции малы, поэтому
. (7.57)

Обозначив , а , получаем условие максимума

. (7.58)

Т.е., при наклонном падении света на решетку, если вести отсчет углов о падающих лучей, роль периода решетки играет проекция периода решетки на перпендикулярное падающему пуску направление. Это позволяет использовать решетки с большим периодом для дифракции с очень короткой длиной. Дифракция света на решетке с гармоническим пропусканием. Рассмотрим дифракцию Фраунгофера на решетке, коэффициент пропускания которой не дискретен, а изменяется по гармоническому закону:

. (7.59)

Найдем только угловое распределение максимумов в этом случае. Поэтому будем считать, что размеры решетки бесконечны. Тогда распределение поля на выходе решетки определяется формулой

. (7.60)

Подставив (7.60) в формулу (7.35) для дифракции Фраунгофера, получаем:

(7.61)

Определив косинус через мнимую экспоненту, имеем:

(7.62)

где C – некоторая константа, включающая амплитуду падающей на решетку волны. Интегралы в (7.62) легко вычисляются через d–функции:

. (7.63)

Отсюда видно, что в отличие от обычной решетки при дифракции на гармонической структуре наблюдаются лишь три главных дифракционных максимума с порядками . Этому процессу можно сопоставить математическое разложение функции пропускания (7.59) в ряд Фурье, содержащий лишь три члена с соответствующими пространственными частотами (волновыми числами), т.к., как указывалось выше, дифракционное устройство физически приближенно осуществляет преобразование Фурье. В случае более сложной функции пропускания (например, как для классической щелевой решетки либо структуры с произвольной функцией пропускания) ее разложение в ряд (или интеграл) Фурье содержит высшие гармоники, которые и определяют пространственное распределение спектра достаточно большого количества дифракционных максимумов. Отметим, что полученные выводы нам понадобятся при рассмотрении основ голографии.
Дифракция на прямолинейном крае экрана. (рис.7.15) Ограничимся случаем падения плоской волны. Основной интерес представляет распределение интенсивности вблизи края геометрической тени, т.е. d << l. Тогда из (7.35) получаем:

(7.64)

где . Последнее выражение в (7.64) представляет собой параметрическое уравнение спирали Корню (клотоиды) (рис.7.16), позволяющей графически определить вид дифракционной картины от полубесконечного экрана. Функции, отложенные на рис. 7.16 по декартовым осям, называются интегралами Френеля:

. (7.65)

Параметр h есть длина дуги спирали Корню, отсчитываемая от точки 0. Распределение интенсивности вблизи края геометрической тени показано на рис.7.17.