1. Понятие о статистике 3
![]()
|
6.6. Анализ сезонных колебанийВ рядах динамики, уровни которых являются месячными или квартальными показателями, наряду со случайными колебаниями часто наблюдаются сезонные колебания, под которыми понимаются периодически повторяющиеся из года в год повышение и снижение уровней в отдельные месяцы или кварталы. Сезонным колебаниям подвержены внутригодовые уровни многих показателей. Например, расход электроэнергии в летние месяцы значительно меньше, чем в зимние; или рыночные цены на овощи в отдельные месяцы далеко не одинаковы. При графическом изображении таких рядов сезонные колебания проявляются в повышении и снижении уровней в определенные месяцы (кварталы). В качестве иллюстрации рядов с сезонными колебаниями могут служить данные, представленные в табл. 32 и их графическое изображение (рис. 15). Таблица 32. Динамика производства мороженого предприятием по месяцам, тонн
![]() Рис. 15. Динамика производства мороженого предприятием по месяцам, тонн Вместо месячных показателей могут быть квартальные. Если колебания не случайны, то они сохраняются и в квартальных уровнях, как это показано в табл. 33 и на рис. 16, где месячные данные из табл. 32 преобразованы в квартальные. Таблица 33. Динамика производства мороженого предприятием по кварталам, тонн
![]() Рис. 16. Динамика производства мороженого предприятием по кварталам, тонн Наблюдение за сезонными колебаниями позволяет устранить их там, где они нежелательны, а также решить ряд практических задач, например, определить потребности в сырье, рабочей силе в тех отраслях, где влияние сезонности велико. При изучении рядов динамики, содержащих «сезонную волну», ее выделяют из общей колеблемости уровней и измеряют. Существует 2 основных метода для решения этой задачи: расчет индексов сезонности и гармонический анализ. Индексы сезонности показывают, во сколько раз фактический уровень ряда в определенный момент или интервал времени t больше среднего уровня, либо уровня, вычисляемого по уравнению тренда ( ![]() ![]() где Yt – уровень ряда динамики за месяц (квартал) t; ![]() Индексы сезонности желательно рассчитывать для рядов динамики, длиной в несколько лет, тогда формула индекса сезонности примет следующий вид: ![]() где ![]() Например, по данным таблицы 32, представляющим ряд динамики за 3 года, индексы сезонности будем рассчитывать по формуле (107), для чего сначала рассчитаем ![]() ![]() ![]() При наличии тренда индексы сезонности определяются определяются аналогично по формулам (106) – (107) с учетом замены ![]() ![]() ![]() Особое место при анализе сезонных колебаний занимает гармонический анализ сезонных колебаний, в котором осуществляется выравнивание ряда динамики с помощью ряда Фурье, уровни которого можно выразить как функцию времени следующим уравнением: ![]() То есть сезонные колебания уровней динамического ряда можно представить в виде синусоидальных колебаний. Поскольку последние представляют собой гармонические колебания, то синусоиды, полученные при выравнивании по ряду Фурье, называют гармониками различных порядков (показатель k в этом уравнении определяет число гармоник). Обычно при выравнивании по ряду Фурье рассчитывают несколько гармоник (чаще не более 4) и затем уже определяют, с каким числом гармоник ряд Фурье наилучшим образом отражает изменения уровней ряда. При выравнивании по ряду Фурье периодические колебания уровней динамического ряда представлены в виде суммы нескольких синусоид (гармоник), наложенных друг на друга. Так, при k=1 ряд Фурье будет иметь вид ![]() а при k=2, соответственно, ![]() и так далее. Параметры уравнения теоретических уровней, определяемого рядом Фурье, находят, как и в других случаях, методом наименьших квадратов. Приведем без вывода формулы36, используемые для исчисления параметров ряда Фурье: ![]() ![]() ![]() Последовательные значения t обычно определяются от 0 с увеличением (приростом), равным ![]() Например, при n=10 временнЫе точки tможно записать следующим образом: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() или (после сокращения): ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При n=12 значения tприведены в первой строке таблицы 34, а во второй и третьей строках определены значения sinkt и cosktдля первой гармоники. Таблица 34. Значения sinkt и cosktдля первой гармоники 12-ти уровнего ряда динамики
В таблице 35 приведены исходные данные (графы 1 и 2) и расчет показателей, необходимых для получения уравнений первой гармоники (k=1) по формуле (112). Таблица 35. Вспомогательные расчеты параметров ряда Фурье
Искомое уравнение первой гармоники имеет вид: ![]() ![]() ![]() Рис. 17. Динамика производства мороженого предприятием, тонн Аналогично рассчитываются параметры уравнения с применением второй, третьей и т.д. гармоник37, а затем выбирается наиболее адекватное уравнение, то есть с минимальной ошибкой аппроксимации. На основе подобранного уравнения по ряду Фурье можно прогнозировать (экстраполировать) развитие уровней ряда в будущем по формуле (104). Например, определим доверительные интервалы производства мороженого на январь 2007 года с вероятностью 0,95, для чего найдем ошибку аппроксимации по формуле (105): ![]() ![]() ![]() |