Шпора к экзамену 2 курс 2сем.. 1, Система уравнений Максвела в интегральной форме

• Название: 1, Система уравнений Максвела в интегральной форме
• Анкор: Шпора к экзамену 2 курс 2сем..doc
• Дата: 16.12.2017
• Размер: 1.11 Mb.
• Имя файла: Шпора к экзамену 2 курс 2сем..doc
• Тип: Документы; #11678
• Категория: Физика
• страница: 7 из 10

[править] Определение

Если приготовлены несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определенному распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину стандартного отклонения Δx координаты и стандартного отклонения Δp импульса, мы найдем что:

,

где «» является постоянной Планка (h) поделенной на 2π. (В некоторых рассмотрениях «неопределенность» переменной определяется как наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в случае нормального распредения переменных, приводит для произведения неопределенностей к большей нижней границе h/2π.) Отметьте, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть определен точно, в то время как x — нет. Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем неопределенность потому, что значение h чрезвычайно мало.

23, Уравне́ние Шрёдингера в квантовой физике — уравнение, связывающее пространственное распределение амплитуды вероятности с энергией частицы. Предложено австрийским физиком Эрвином Шрёдингером в 1925 в качестве окончательного объяснения атомной структуры с помощью представлений о волновой функции. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Его можно назвать уравнением движения квантовой частицы В квантовой физике изначально вводится представление о вероятностном поведении частицы путем задания некоторой функции, называемой волновой и характеризующей вероятность местонахождения частицы (см. Волновая функция). Затем выводится уравнение для этой функции.

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов Ньютона, и определив вместо этого волновую функцию (), необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Искомым уравнением будет уравнение Шрёдингера.

Пусть волновая функция задана в N-мерном пространстве, тогда в каждой точке с координатами , в определенный момент времени t она будет иметь вид . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:



где , — постоянная Планка; — масса частицы, — внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке , — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла, и в частном случае декартовых координат, имеет вид:

[править] Случай трёхмерного пространства

В трёхмерном случае неизвестные являются функциями трех координат и в декартовой системе координат заменяется выражением



тогда уравнение Шрёдингера примет вид:



где , — постоянная Планка; — масса частицы, — потенциальная энергия в точке

[править] Стационарное уравнение Шрёдингера

Форма уравнения Шрёдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального случая, когда не является функцией времени, можно записать в виде:



где функция должна удовлетворять уравнению:



которое получается из уравнения Шрёдингера (1) при подстановке в него указанной выше формулы для (2). Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени).

Выражениe (2) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера (1), общее решение представляет собой линейную комбинацию всех частных решений вида (2). Зависимость функции от времени проста, но зависимость ее от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (3) при одном выборе вида потенциальной функции совершенно отличается от того же уравнения при другом выборе этой функции. В действительности уравнение (3) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции .

Важное значение имеет интерпретация величины в уравнении (2). Она производится следующим путём: временна́я зависимость функции в уравнении (2) имеет экспоненциальный характер, причём коэффициент при в показателе экспоненты выбран так, что правая часть уравнения (3) содержит просто постоянный множитель . В левой же части уравнения (3) функция умножается на потенциальную энергию . Следовательно, из соображений размерности вытекает, что величина должна иметь размерность энергии. Единственной величиной с размерностью энергии, которая постоянна в механике, является полная (сохраняющаяся) энергия системы; таким образом, можно предполагать, что представляет собой полную энергию. Согласно физической интерпретации уравнения Шрёдингера, действительно является полной энергией частицы при движении, описываемом функцией .

[править] Получение уравнения Шрёдингера предельным переходом

Существует способ получить уравнение Шрёдингера, используя предельный переход к классической механике.

Рассмотрим оператор



Поскольку интеграл есть величичина постоянная (для нормированной функции равная 1) то:



(Звездочкой будем обозначать комплексное сопряжение) Подставляя сюда наш оператор (оператор со звездочкой — комплексно сопряженный, с тильдой — транспонированный):



Иначе:



Поскольку это равенство должно выполняться для произвольной функции Ψ, то отсюда следует, что тождественно , то есть оператор эрмитов. Чтобы выяснить смысл этого оператора, подействуем им на функцию (функция квазиклассической системы, a — медленно меняющаяся функция, S-действие):



Пренебрегая первым членом в силу его малости получаем:



То есть --- собственное значение нашего оператора. Но эта производная есть ничто иное, как классическая энергия системы (функция Гамильтона). Поэтому этот оператор называют гамильтонианом или гамильтоновым оператором.

Мы не будем здесь приводить вывод оператора импульса(точнее, оператора величины, сохраняющейся в силу однородности пространства), приведем лишь результат:

Или в компонентах(оси x₁,x₂,x₃...):



В том, что это есть оператор величины переходящей в классический импульс можно убедиться, тем же методом, что был предложен для гамильтониана. Можно показать, что сохраняющаяся со временем величина, в частности импульс, измерима одновременно с энергией. Поэтому мы предположим, что соотношение между операторами импульса и энергии совпадает с классическим соотношением между соответствующими величинами:



Но:



Таким образом:



23,/2